Алгебраические аспекты теории интегрируемых волчков

• Автор: Ефимовская, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 118 с. : ил.

1 Квадратичные гамильтонианы с дополнительным интегралом степени 4

1.1 Гамильтонова структура задач динамики твердого тела

1.2 Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы

на е(3)

1.2.1 Задача Кирхгофа о движении твердого тела в жидкости

1.2.2 Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг

неподвижной точки

1.2.3 Обобщения

1.3 Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы

на 5о(4)

1.3.1 Однородные случаи

1.3.2 Обобщения
1.4 Известные интегрируемые квадратичные гамильтонианы
на йо(3,1)
1.5 Основные результаты
1.5.1 Классический случай
1.5.2 Классический случай на нулевом уровне интеграла
площадей
1.5.3 Квантовый случай
2 Уравнения на свободных ассоциативных алгебрах
2.1 Основные определения
2.2 Уравнения, обладающие симметриями
четвертой степени
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Основной результат

2.2.3 Комментарии
2.3 Уравнения, обладающие максимальным набором первых интегралов
2.4 Точное интегрирование уравнений с максимальным набором первых интегралов в матричном случае
3 Факторизации алгебры петель над зо(4)
3.1 Определения и известные факты
3.2 Факторизующие подалгебры для <3 = во(3)
3.3 Коммутационные соотношения для факторизующей подалгебры в случае 0 = 5о(4)
3.4 Диагональные подалгебры
3.5 Коммутационные соотношения для ортогонального дополнения к Ы
4 Дифференциальные уравнения, обладающие представлением Лакса в зо(4)
4.1 Представления Лакса для систем типа волчков
4.2 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа волчков на 5о(4)
4.3 Уравнения Ландау-Лифшица на 5<э(4)
4.4 Системы типа уравнения кирального поля на 5о(4)

Работа посвящена некоторым алгебраическим аспектам теории интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений. Поскольку не существует единого общепринятого определения интегрируемости, уточним что имеется в виду.
Когда речь идет о гамильтоновых обыкновенных дифференциальных уравнениях с полиномиальной правой частью, под интегрируемостью часто подразумевают интегрируемость по Лиувиллю. С алгебраической точки зрения это означает наличие достаточного числа функционально независимых полиномиальных первых интегралов. Более точно, пусть п - число неизвестных функций, а т - число функций Казимира соответствующей гамильтоновой структуры. Тогда для интегрируемости по Лиувиллю необходимо существование интегралов движения (см., например, [2, 9]).
Для классических задач теории твердого тела (см. [8]) гамильтонова структура задается скобкой Пуассона
{Ми } = £цк Мк, '^j} = £цк 7&! {"Уй Т?} — 0' (0-1)
Здесь МЬМ2, М3 и 71,72,73 - компоненты двух трехмерных векторов м и Г, £7,^-полностью кососимметрический тензор. Скобка Пуассона (0.1) обладает двумя функциями Казимира
•Л = 7г + 7г + 7з» ^ = М1Ъ + М2Ъ + МзЪ. (0.2)
Поэтому для интегрируемости по Лиувиллю достаточно найти еще один интеграл /, функционально независимый с J,J2 и гамильтонианом Я.
Имеется ряд классических задач, в которых гамильтониан является многочленом второй степени:
Я = (М, ИМ) + (М, В Г) + (Г, С Г) + (Р, М) + Г). (0.3)

щ = — U2V + uvu vt — uv2 — 2 vuv + v2u,
Щ — —u2v 4- uvu vt = —vuv + v2u,
ut = u2v + uvu — 2 vu2 Vt = o,
Щ = uvu
Vt = 0,
Ut = uvu — vu2 vt = uv2 — vuv,
ut = uvu
vt = uv2 — 2 vuv + v2u,
ut = uvu — vu2 Vt — —vuv + v2u,
ut = — u2v + 2 uvu — vu2 Vt = o,
ut = —u2v + 2 uvu — vu2 vt = uv2 — vuv,
ut = —u2v + 2 uvu — vu2 vt — uv2 — 2 vuv + v2u,
ut = —u2v + 2 uvu — vu2 Vt — —vuv + v2u,
ut — a2u2v + uvu — (1 + a2) vu2 Vt = o,

(2.2.21)
(2.2.22)
(2.2.23)
(2.2.24)
(2.2.25)
(2.2.26)
(2.2.27)
(2.2.28)
(2.2.29)
(2.2.30)
(2.2.31)
(2.2.32)