О некоторых свойствах трансцендентных чисел

• Автор: Янченко, А.Я.
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 c. : ил

ивОЗНАЧЕНЙЯ

В дальнейшем

N будет обозначать тожество натуральных чисел;

- множество рациональных чисел;

(£7 ~ поле комплексных чисел;

р - простое ЧИСЛО? р У 2-

- пополнение ПОЛЯ относительно нормы I

ЛР - полное относительно норш I 1р алгебраически замкнутое расширение поля ;

Ж - кольцо целых чисел;

2? • 36V* -7 " кольцо многочленов с целыми

коэффициентами от Л77 переменных;
для всякого многочлена будет обозначать степень многочлена JP по совокупности переменных, И(Р) - максимум модулей его
коэффициентов; положим также -6СР)~ &(P)+depP>

ГЛАВА Г. 560АН&Я
В данной главе дается краткий исторический обзор, формулируются основные результаты диссертации, а также приводятся некоторые вспомогательные утверждения, которые используются нри доказательстве теорем диссертации.
§ 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
иреди задач теории трансцендентных чисел определенное место занимает изучение свойств трансцендентных р -адичес-ких чисел.
Одной из первых работ в этой области является статья Малера (ш) , опубликованная в І93И г. В ней, в частности, доказывалась следующая теорема, аналогичная теореме Линдемана.
Теорема I. Если сС - алгебраическое Р -ддическое
ґТ
число из 1?р и 1<£ір<р Р'1 , то (3 трансцендентно.
Позднее, в 1935 г., Малер перенес метод А.О.Гельфонда ^впервые изложенный в 3 ) на область р-адических чисел и получил утверждение, аналогичное седвмой проблеме Гильберта Ш61)
Теорема П. Пусть Л и Э - алгебоаические числа из (Цр такие, ЧТО (Л/ отлично от нуля и корня степени £> из единицы, а р - иррационально^, причем / сС~і !р < 4.
и I £ іед <1 1р < р'р“ . Тогда ^ - трансцендентно.

В работах Си J, №1 , C2fl и других
были установлены также теоремы, касающиеся количественной характеристики трансцендентных р -адических чисел - мера их трансцендентности.
В частности, А.О.Гельфондом была доказана
Теорема Ш. Пусть а,£> - алгебраические, такие, что
| О-Пр <1 J і 6-і I р
Тогда неравенство . л , _ гп о
ібЦа+^ЦЄ.Ір<Р
гле(е Z, о<ін,Іі-М<2Л/; то = с6иг+У]уи,,ц-н)
не может иметь решений при /V >и£ , причем A4 может быть эффективно вычислено как функция от Ü, & и р.
Наряду с задачами трансцендентности естественно рассматривать и их обобщения, касающиеся алгебраической независимости или оценок меры алгебраической независимости двух или более чисел. В р-адической области результаты подобного рода стали появляться лишь в недавнее время.
В 1966 т. Адамс, использовав интеграл шнирельмана в качестве р -адического аналога контурного интеграла Коши, получил ряд новых теорем (с/о . Сформулируем одну из них:
Теорема ІУ. Пусть - алгебраические числа из J2P такие, что не нУдь и не корень из единицы и jS имеет степень Л >*І . Предположим, что U-d/p
[ßк-to^oi /р < р 1 ^ к £ Г
тогда степень трансцендентности щзля (£) ciß )
над не менее 2.
Существенным моментом в доказательстве этих теорем является перенесенная в область р -адических чисел лемма о

[ Q(Qi,6z)ip >(ис
если теперь F & Ж СЯь'Х’гЗ - произвольный многочлен степени не выше с И
ГЯ Г<.
= $ • R, 1 • ■ rs ” его Разложение на неприводимые, то
I Р(е.,ад1р ? iai_1 iPne,,&)£’•...• IPstei;®^
Положим Т ~ X^>0i)&z)= ггьсих lTLByQz) | р ,
где максиму!:! берется ПО всем многочленам ~Г ér 2Z EjC'tj&’z3 таким, что
тогда | р(©|;е2)|р & idar1 ■ П' r
где через f}/ обозначено произведение тех Pj ye^eoip
у которых H ( Р; ) > Ио(^, 01,6г.)
Отсюда следует, что , - , тс i - Х-сР -xdeZrj'^uH(Pi)
1 РСЭ1,6д.)|р ^ J. • l^l 0
. тв( -/(d* -Xda(k«l + ifj£v,wCPj)J
> I е е.
По лемме А.и.Гельфонда ([5 1 , гл.Ш, § 4, л.2 )
Lioi + z: r-j л Н(р;) zd +L и(Е)
i-t
Поэтому, окончательно, имеем:

IP(©i,6AIp > A(eU„eO-(W (Здесь через А ( d) 0л, 02 ) обозначено
J d Xd“4 — 2.XСЗ<з
(зло)