О некоторых задачах эргодической теории чисел

• Автор: Шкредов, Илья Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с.

0.1 Актуальность темы

0.2 Содержание работы

Глава 1. Количественная возвращаемость

1.1 Понятие возвращаемости в эргодической теории

1.2 Доказательство теоремы 1

1.3 Некоторые следствия из теоремы 1

1.4 N - возвращаемость

1.5 Повторяемость неполных частных у цепных дробей. Формулировка основного результата

1.6 Вспомогательные утверждения

1.7 О пространстве последовательностей

1.8 Доказательство теоремы 1

Глава 2. Критерии нормальности траектории точки в динамической системе
2.1 Критерии нормальности Постникова и Пятецкого-Шапиро
2.2 Общая постановка задачи
2.3 Случай конечного начального разбиения
2.4 Теорема Пятецкого для марковских цепей
2.5 Теорема Пятецкого для динамических системах с ф-перемешиванием. /-растяжения
2.6 Примеры со счетным разбиением. Цепные дроби
2.7 Примеры со счетным разбиением. Обобщенный сдвиг Бернулли
Глава 3. Аддитивные задачи с показательной функцией
3.1 Постановка задач и формулировка результатов

V,*
3.2 Доказательство теорем
Список литературы

0.1 Актуальность темы.
Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к эргоди-ческой теории чисел.
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена изучению феномена возвращаемости и нормальности почти всех точек произвольной динамической системы. Кроме того, в диссертации рассматривается задача о представлении почти всех чисел в виде суммы двух элементов некоторых множеств.
Постановки задач, связанных с этими объектами, восходят к А. Пуанкаре, Г. Вейлю,Э. Борелю и другим математикам. Ими занимались такие выдающиеся математики, как А. Я.Хинчин, П. Эрдеш, И. И. Пятецкий-Шапиро, А. Г. Постников, С. В.Конягин, А. Шаркози, X. Фестенберг, М. Кац, В. Шмидт, Г. А. Фрейман, А.Реньи.
•А Исследованию феноменов возвращаемости и нормальности посвящено
множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в монографиях А. Г. Постникова [30], X. Фестенберга [16], Л.Кейперса и Г. Ниддерейтера [20], М.Дрмоты и Р. Тихого [21], А. Я. Хинчина [35], С. В. Конягина и И. Шпарлинского [44] и других.
Понятие возвращаемости точки в динамической системе впервые появилось в работе А. Пуанкаре [9]. Там же был доказан ставший классическим результат о возвращаемости почти всех точек произвольной динамической системы. Впоследствии эта теорема была несколько уточнена М. Кацем [34]. X. Фестенберг [16] обобщил результат Пуанкаре на случай действия в фазовом пространстве группы коммутирующих операторов.
Тем не менее, в перечисленных работах не рассматривался вопрос о количественных аспектах возвращаемости. Только в 1993 году М. Д. Бошерницан [10] и независимо от него Н. Г. Мощевитин [11] в 1997 году получили количественные результаты о скорости возвращения. В настоящей диссертации теоремы М. Д. Бошерницана и Н. Г. Мощевитина уточняются и обобщаются.
Также в диссертации исследуется одно из классических понятий теории чисел : нормальность орбиты точки или, другими словами, ее равномерная

такие, что при всех г/ € [0,г;((5, а)] и при всех I > 1б(р,д) выполнено
ац(а,г)) < ехр(-є(6,а)1). (2.49)
Для того, чтобы получить сформулированное следствие, полагаем р = р(а),ц = 1 — р(а) и используем, что функции /(77) = р(а)1_7? и д{т?) = ')2ь:Ь^а(Т){ЩУ г> при г/ близких к нулю являются непрерывными; в частности, на некотором интервале 0 < г/ < д(5, а) имеем д(0) = 1 — р{а) < д(д) < (1 — р(а))'ш^р’'! Затем применяем лемму.
Если теперь рассмотреть характеристическую функцию Ха элементарного цилиндра с фиксированными первыми знаками а = (аьто при достаточно большом I будет иметь место Н^(Аі(ха, <5)) < т/). Отсюда
Нг(Аі(Ха, 8)) —> 0 при I —» оо и теорема 2.5 вытекает из теоремы 2.1.
Теорема 2.5 доказана. □
Замечание. Теорема 2.3 доказана нами с использованием сложных теорем о больших уклонениях [43]. Теорема 2.5 тоже может быть выведена из теоремы о больших уклонениях для сумм независимых случайных величин (см. [40], гл. 4, §5), однако по причине се простоты мы привели ее элементарное доказательство.
ОТ-'