Нормальное строение и большие абелевы подгруппы унипотентной подгруппы групп лиева типа

• Автор: Сулейманова, Галина Сафиуллановна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Нормальное строение унипотентных подгрупп и
1.1. Основные элементы и подгруппы групп лиева типа
1.2. Специальные представления унипотентных подгрупп
1.3. Фреймы и критерии нормальности подгрупп в II
1.4. Нормальное строение группы иСп(К) при 2К =
1.5. Случаи групп и типа Лп, 2Д, и Еп
Глава 2. Максимальные абелевы нормальные подгруппы
2.1. Группы лиева типа ранга <
2.2. Группы и классических типов
2.3. Группы и типа Еп
2.4. Группы и типа 2 Ее, Д и 2Д
Глава 3. Большие Д-подгруппы
3.1. Следствие о больших нормальных абелевых подгруппах в {/
3.2. Проблема (В) о больших абелевых подгруппах группы и
3.3. Завершение вычисления порядков и множество А^(1/)
3.4. б-сопряженность больших абелевых подгрупп в II к подгруппам
из Ам(и) для классических типов
3.5. Редукция проблемы (В) к лиеву рангу <
Глава 4. Завершение решения проблемы (В)
4.1. Исключительные подгруппы из А(и) для малых рангов
4.2. Случай групп I/ типа Д
4.3. Случай групп [/ типа 2Е
4.4. Подгруппы Томпсона и завершение решения проблемы (В)
Глава 5. Некоторые приложения
5.1. Новое решение задачи Паркера - Раули
5.2. Финитарные унипотентные группы и их автоморфизмы
5.3. Соответствия нормальных подгрупп в I/ и идеалов ассоциирован-
ного кольца Ли
5.4. Перечисления в кольцах
Список литературы
Введение

К главным в диссертационной работе относятся следующие две, исследуемые взаимосвязано, задачи:
(А) Описать максимальные нормальные абелевы подгруппы унипотентно-го радикала V подгруппы Бореля группы С лиева типа над полем;
(Б) Описать большие абелевы подгруппы группы С1 лиева типа над конечным полем.
По-видимому, первой задачу (А) изучала А. Уир. В 1955 г. она описала автоморфизмы унитреугольной группы ЫТ{п,К) (т.е. группы II типа Ап-) над конечным полем К нечетного порядка, основываясь на решении задачи (А) для этого случая [84, Теорема 7|. Для унитреугольных групп над любым полем (даже телом) эту задачу решил в 70-80-х гг. В.М. Левчук [19, Теорема 3]. Автоморфизмы он описал в большей общности, представив иТ(п, К) присоединенной группой кольца АТ(п, К) нильтреугольных матриц (с нулями на главной диагонали и над ней) и установив соответствие:
Нормальные подгруппы присоединенной группы кольца МТ(п, К) - это, в точности, идеалы, ассоциированного кольца. Ли.
Большой V-подгруппой конечной группы для любого теоретико-группового свойства V называют всякую Р-подгруппу наивысшего порядка. Изучаемая с 1970-х годов задача описания больших абелевых подгрупп конечных групп лиева типа восходит к А.И. Мальцеву, выделившему задачу о нахождении абелевых подгрупп максимальной размерности в комплексных простых группах Ли, [29].
Для одной серии классических комплексных групп Ли решение задачи было известно: И. Шур в начале прошлого века указал наивысшую размерность абелевых подгрупп групп БЬ(п, С) и доказал, что абелевы подгруппы этой размерности при п > 2 переводятся друг в друга автоморфизмами [77].
Свою задачу А.И. Мальцев решил переходом к комплексной алгебре Ли Ьс, ассоциированной с соответствующей системой корней Ф, и последующей редукцией к задаче нахождения абелевых подалгебр наивысшей размерности, все элементы которых нильпотентны: автоморфизмами они переводятся в нильпо-тентную подалгебру NФ(С) с базисом {ег | г £ Ф+} алгебры Шевалле, [48].
Требуемые подалгебры в [29] перечислены, с точностью до автоморфизмов алгебры Ьс, вместе с найденным перечислением "больших коммутативных" множеств корней в Ф+. Подмножество Ф в Ф+ названо А.И. Мальцевым коммутативным (или абелевым), если г + в £ Ф для всех г, з £ Ф.
Подобно схеме Мальцева задача (Б) для групп лиева типа редуцируется к аналогичной задаче для групп I/. Более точно, большая абелева подгруппа

группы G лиева типа над конечным полем совпадает с большой абелевой уни-потентной подгруппой или с одним из максимальных торов в G; последние в 1978 - 1984 гг. перечислили Р. Картер |49], [50| и Д. Деризиотис |52|, |53|.
К середине 80-х гг. М. Барри и В. Вонг в серии работ [41], [42], [85], |86], обобщая результаты Дж. Гузефа [59] и Г. Твейтса [81], описали для классических типов множество A(U) больших абелевых подгрупп группы U вместе с подмножеством An(U) нормальных в U подгрупп, множество Ae(U) больших элементарных абелевых подгрупп в U, а также подгруппы Томпсона
J(U) = {Л I Л 6 A{U)), Je(U) = (А А € MU)).
В 1986 г. в обзоре A.C. Кондратьева [16] записана, как проблема (1.6),
Проблема (В). Описать множества A(U), Ae(U), AN{U) и подгруппы Томпсона J(U), Je(U) для оставшихся случаев G.
Подход к этой задаче, связанный с решением задачи (А), начинал разрабатываться с 90-х годов, см. анонс [25], [102] и [60]. В 1999 - 2001 г. порядки больших абелевых подгрупп в U и подгруппы Томпсона находил Е.П. Вдовин [5], [7], [6], модифицируя метод А.И. Мальцева [29] и используя компьютерные вычисления.
К. Паркер и П. Раули [72] называют нормальную абелеву подгруппу А группы U = UG(K) экстрем,алыI,ой, если А <£. f/2 (2-й член стандартного центрального ряда в U). Это означает, что А имеет простой угол, т.е. существует простой корень г такой, что хотя бы один элемент из А имеет в каноническом разложении сомножитель вида Xr(t), t Ф 0. С целью приложений, в первую очередь, в ревизии ККПГ (классификации конечных простых групп) в |72| - |74| изучается
Задача Паркера — Раули: Выявить группы U, имеющие экстремальные подгруппы, и простые углы в таких подгруппах.
Тесно связана с этой задачей и (А) следующая задача
(Г) Изучить нормальное строение U и соответствие нормальных подгрупп в U — иФ(К) над полем и идеалов ассоциированного кольца Ли АФ(К).
Нормальное строение и автоморфизмы классических линейных групп [1], [12], [61], [76], а затем и групп Шевалле вызывали традиционный интерес (Д.А. Супруненко [37], Ю.И. Мерзляков [31], A.B. Михалев [18], [43], В.М. Пе-течук [33], [34], И.З. Голубчик [8], Е.И. Зельманов [13], Э. Абэ [39], [40] и др.).
Соответствие нормальных подгрупп группы иФ(К) и идеалов ассоциированного кольца Ли АФ[К) изучалось с 90-х годов. Вопросы характеризации радикальных колец с таким соответствием записаны в Коуровской тетради [17], см. вопрос 6.19 с комментарием Е.И. Хухро и вопрос 10.19.

Глава 2. Максимальные абелевы нормальные подгруппы
Основные результаты главы 2 полностью решают следующую проблему
(А) Описать максимальные нормальные абелевы подгруппы унипотентно-го радикала и подгруппы Бореля группы б лиева типа над полем.
Теоремы 2.2.2 и 2.2.4 решают ее для классических типов; для типов Еп см. также § 2.3. Теорема 2.4.1 в § 2.4 дает решение для типов Д., 2^4 и 2_Е
Для исключительных типов лиева ранга < 2 ее решает в следующем параграфе теорема 2.1.1.