Нормальность замыканий орбит максимального тора

• Автор: Куюмжиян, Каринэ Георгиевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Оглавление
Введение
Проблема нормальности для замыканий орбит
Результаты
Благодарности
1 Сверхнасыщенность и унимодулярные множества
1.1 Основной результат
1.2 Нормальность замыканий орбит тора
1.3 Весовое разложение простого модуля
1.4 Свойства ненасыщенных множеств
1.5 Унимодулярные и почти унимодулярные
множества
1.6 2-унимодулярные множества
1.7 Другие методы проверки насыщенности
2 Система корней Ап
2.1 Положительные результаты
2.2 Отрицательные результаты
2.2.1 Фундаментальные веса .
2.2.2 Веса, не являющиеся фундаментальными
3 Другие классические системы корней

3.1 Система корней Вп
3.1.1 Положительные результаты
3.1.2 Несколько отрицательных результатов
3.1.3 Редукция к разобранным случаям
3.2 Система корней Сп
3.2.1 Положительные результаты
3.2.2 Несколько отрицательных результатов
3.2.3 Редукция к разобранным случаям
3.3 Система корней Оп
3.3.1 Координаты всех весов целые
3.3.2 Координаты, большие единицы
3.3.3 Координаты, меньшие единицы
4 Исключительные системы корней
4.1 Система корней Е%
4.2 Система корней Е7
4.3 Система корней Е6
4.4 Система корней F4
4.5 Система корней Є2

Введение
Диссертация посвящена проблеме нормальности замыканий орбит максимального тора в рациональных модулях простых алгебраических групп.
Проблема нормальности для замыканий орбит
Пусть й — аффинная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем к характеристики ноль, действующая на некотором аффинном алгебраическом многообразии. Напомним, что неприводимое аффинное алгебраическое многообразие X называется нормальным, если алгебра регулярных функций к[Х] целозамкнута в своём поле частных. Вопрос о нормальности замыканий орбит имеет долгую историю. Первые результаты были получены Б. Костантом [19]. Он показал, что для редуктивной С нуль-конус в присоединённом модуле нормален. X. Крафт и К. Прочези [21] доказали, что в присоединённом модуле б1(п) замыкания всех £>К(п)-орбит нормальны. В положительной характеристике аналогичный результат для 5Т(п) был установлен
С. Донкиным [15]. Позже X. Крафт и К. Прочези [22] и Э. Соммерс [29] изучили тот же вопрос для присоединённых модулей других классических групп. В частности, в [22] на языке диаграмм Юнга указаны орбиты с ненормальными замыканиями. Случаи АД Сг, Ее разобраны А. Броером, X. Крафтом и Э. Соммерсом в [9], [20] и [28]. Для Еу и Е% полного ответа ещё нет.
Перейдём к действиям алгебраического тора Т, то есть аффинной алгеб-

Случай 2.4. Л = 4сП, п = 1. Требуется проверить, что множество М(А) = {(2, —2), (1, —1), (0, 0), (-1,1), (-2,2)} сверхнасыщенно. Это можно сделать несложным перебором с применением леммы 1.24.
Случай 2.5. Л — 27Г1 = 2в1, п = 2. Все веса этого представления отмечены на рисунке 1.

После подходящей замены координат
К(М( А))

0 1-1
Множество контуров 1к(М{А)) равно {Ж1Х2Х3 — 1, Х4Х5Х6 — 1,х}х4 — 1, Х2Х5 — 1, Х3Х6 — 1, х}х2 — Хб, Ж4Х3 —Х5, Ж2Ж3 — ХА, х — Х4Х5, Х2~ Х4Хб, Ж3 — Х5Хб}. Отсюда М(А) сверхнасыщенно по теореме 1.23.
Случай 2.6. Л = 7г3 = (|, —|), п = 5. Здесь
М(Л) - - ,£б)И = ±1,еч = о|
Матрица К, образованная элементами М(А), в стандартном базисе имеет вид