Новый вид урезания аддитивных функций и его применение в вероятностной теории чисел

• Автор: Евликов, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 115 c. : ил

ВВЕДЕНИЕ. Одной из задач аналитической теории чисел является изучение распределения значений аддитивных функций.
Рассмотрим последовательность функции распределения ^ («., ТгСм., Ло), , Т^Ои/, ... ,

где ЬОл) = ~

^ОЛ'-ЙСх) < и. &е=с)

<3(*о> - вещественная аддитивная функция, Л(ч9 и В>0*0 - вещественные функции.

При исследовании сходимости последовательности функций распределения к нетривиальному закону в каждой точке непрерывности последнего (под тривиальным законом в точке "а" понимается закон, функция распределения которого

т ] 0 при ч. <■ я,

4 при и

возникают следующие вопросы [14]:

I. Каким условиям должна удовлетворять аддитивная функция <309, чтобы существовала предельная функция Т-(у)

2.. С какой скоростью 4х(и-ДаО,ВС<>) приближается к .

3. Каковы свойства 7(лО
Первый, нетривиальный результат в этом направлении был получен в 1917 году Харди и Рамануджаном [25*] , доказавшим, что для любой положительной неограниченно возрастающей при х—'> сю
функции
к ^ ^ ^ при X —> 0° ,
* <-сс
МО')-
где Ш С'1'') - число различных простых делителей И .
В 1935 году Б.Иессен и А.Винтнер [2б] для изучения распределения значении аддитивных функций, предложили применять метод характеристических функций, то есть изучать поведение последовательности характеристических функций
является достаточным условием того, чтобы последовательность функций распределения
слабо сходилась к предельной, то есть сходилась к некоторой функции распределения в каждой точке непрерывности последней.
В 1939 году П.Эрдеш и А.Винтнер [22] доказали, что эти условия являются необходимыми.
Систематическое развитие вероятностная теория чисел, как ветвь теории чисел, получила в серии работ Й.П.Кубилюса [2] - [7] и в его книге "Вероятностные методы в теории чисел". В частности, он доказал закон "больших чисел" для произвольной аддитивной функции, а не только для cüOO , как это было у Харди и Рамануджана. В своих работах ЙЛ.Кубилгос широко применял метод урезания аддитивных функций
Позже появилась серия работ Левина Б.В. и Файнлейба A.C.,
h $ ас
В 1938 году П.Эрдеш [23] доказал, что для аддитивной функции ^00 сходимость рядов
б) предельная характеристическая функция
70) = Йи, ?*(У) (2.1.1)
•х->
в) последовательность функций распределения
7*0)= X . (2.1.1)
* £ ас. 4 '
$ и Ьоо
г) предельная функция распределения
. (2 Т.З)
Докажем вначале две леммы.
. ЛЕММА 2.1.1 . Пусть-Со>о , с>0 - некоторые постоянные
-Г I ( -*» О), Л

где и .У*-! . Тогда при (Н^С.0 Т^СЛ^-ОО),
при >С0 :
1°. Если С , то Т^а) = -5-С,^ + 00).
2°. Если с <Н.и^у , то 370) = ~£еД + Ш+0(<).
3°. Если Ю > , то Тл,Ц)=(ХОДоказательство. 1°. Представим ?<,()) в следующем виде: