Некоторые свойства делителей нуля ассоциативных колец

• Автор: Кузьмина, Анна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 103 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Армендеризовские кольца и многообразия ассоциативных колец

1.1 Предварительные сведения: определения и обозначения

1.2 Многообразия колец, в которых все критические кольца являются слабыми армендеризовскими

1.3 Многообразия колец, в которых все подпрямо неразложимые конечные

кольца являются армендеризовскими

1.4 Подпрямо неразложимые конечные армендеризовские кольца, удовлетворяющие тождеству х2 = .т3/(.т), где /(х) 6 Щх

2 Эйлеровы графы делителей нуля ассоциативных колец

2.1 Предварительные сведения

2.2 Некоторые свойства графа делителей нуля ассоциативного кольца

2.3 Конечные кольца с единицей, имеющие эйлеровы графы делителей нуля
2.4 Многообразия колец, в которых все конечные кольца имеют эйлеровы
графы делителей нуля
3 Конечные кольца с планарными графами делителей нуля
3.1 Нилъпотентные конечные кольца с планарными графами делителей нуля
3.2 Неразложимые ненилыютентные конечные кольца с планарными г рафами
делителей нуля
3.3 Разложимые ненильпотентиые конечные кольца с планарными графами
делителей нуля
3.4 Конечные кольца, графы делителей нуля которых являются полными
двудольными графами
Список литературы
Работы автора по теме диссертации

Введение
Актуальность темы. Данное исследование велось в двух независимых направлениях. Первое направление связано с понятием армепдеризовского кольца, а второе - с понятием графа делителей нуля ассоциативного кольца. Оба эти понятия были введены совсем недавно. Их объединяет то, что они описывают свойства делителей нуля ассоциативного кольца.
В 1974 году Е. Армендериз опубликовал статью [20], в которой отмечалось, что если произведение двух многочленов с коэффициентами из кольца без ненулевых нильпотентных элементов равно нулю, то и всевозможные попарные произведения коэффициентов этих многочленов равны нулю.
В 1997 году кольцам, удовлетворяющим такому условию, в работе [33] дали название "армендеризовских", т.е. кольцо Я называется армендери-зовским, если для любых многочленов /(ж) = й0 + ах + ... + атхт и д(х) = 60 + ЬХ + ... + Ъпхп € Щх] из того, что /(х)д{х) = 0, следуют равенства аф — 0 для всех г = 0,1
С этого времени армендеризовские кольца, стали объектом многих исследований.
Отмстим, что во всех известных нам работах, посвященных исследованию армендеризовских колец, результаты формулируются для ассоциативных колец с единицей, причем в доказательстве многих фактов наличие в кольце единицы играет существенную роль. В нашей же работе понятие армендеризовского кольца используется для ассоциативных колец, не обязательно имеющих единицу.
В 1998 году Д. Андерсон и В. Камилло доказали в [17], что кольцо многочленов над армендеризовским кольцом является армендеризовским и армендеризовское регулярное (по фон Нейману) кольцо не имеет ненулевых нильпотентных элементов.
Позже в работе [25] было доказано, что в любом армендеризовском кольце с единицей все идемпотенты являются центральными.
В 2002 году в статье [24] доказаны следующие факты:

• если фактор-кольцо Я/1 является армендеризовским для некоторого идеала I, в котором нет ненулевых нильпотентных элементов, то кольцо Я армендеризовское;
• если кольцо Я имеет полное классическое правое кольцо частных С(), то кольцо Я является армендеризовским в том и только в том случае, когда кольцо частных (5 армендеризовское.
В работе [281 описаны некоторые армендеризовские подкольца полного матричного кольца над кольцом без ненулевых нильпотентных элементов.
Кроме того, был получен ряд других результатов для армендеризовских колец с единицей (см., например, работы [17, 24, 25, 27]).
Позже авторы многих исследований стали вводить определения, производные от определения армендеризовского кольца, и доказывать для этих новых типов колец, если это было возможно, аналоги результатов, полученных ранее для армендеризовских колец (см., например, работы 119, 23, 27, 29, 30]).
В частности, в статье [27] было введено понятие слабого армендеризовского кольца: кольцо Я называется слабым армендеризовским, если для любых многочленов /(х) = ао + ах и д{х) = Ъо + Ьх £ Я[х] из того, что /{х)д{х) = 0, следуют равенства = 0 для г 0,1 и у = 0,1. Кроме того, в этой работе доказан ряд результатов, касающихся этого класса колец, и приведен пример, иллюстрирующий, что существует слабое армендеризовское кольцо, не являющееся армендеризовским.
В 2006 году в работе [30] термином "слабое армендеризовское кольцо "были названы кольца с другим условием, а именно: кольцо Я называется слабым армендеризовским, если для любых многочленов }(х) — ао + ах + ... + атхт и д(х) = 6о + Ьх + ... + Ъпхп £ 17.[ж] из того, что /(х)д(х) = 0, следует, что aibj является нильпотентным элементом для всех г = 0,и j = 0,1

Доказательство. Заметим сначала, что если ab = 0, где а ф J(S),b £
S, то b £ J(S) и Sb = 0. Действительно, пусть с+ >/(5) является обратным к а + J(S). Тогда для каждого s £ S имеем s — sea + j, где j £ J(S). Следовательно, sb — (sca + j)b = 0, поскольку J(S)2 = (0).
Пусть f(x) = £"=0aixZ,g(x) = E"0bJxJ e пРичем f(x)g{x) = o. Кольцо S локальное, поэтому либо f(x) £ J(S)[rc], либо g(x) £ J(S') [ж]. Без ограничения общности можно считать, что ап ф J(S) и д(х) € J(S')[.t], Поскольку f(x)g(x) = 0, то апЬт = 0. Поэтому Sbm = (0). Из равенства f(x)(g(x) — bmxm) = /(ж)(Ьто_1Тт_1 + ... + Ь0) = 0 аналогичным образом получаем, что Sbm_i = (0) и т.д. Продолжив подобные рассуждения, мы покажем, что Sbj = (0) при j = 0,1
Лемма 1.9 Пусть S - критическое коммутативное локальное кольцо с единицей е, такое, что pJ(S) = 0, J(S)2 Ф (0). Тогда J(S) является критической GR(pn, г)-алгеброй, где п < 3.
Доказательство. Доказательство проведем методом, использованным в работе [9]. Пусть к > 2 - индекс нильпотентности алгебры J(S) и S = G+ N, где G = GR(pn. г) - конечное кольцо Галуа и N - аддитивная подгруппа в J(S)+ (см. [31]). Заметим, что p2S = p{pS) С pJ(S) = (0), т.е. п < 2.
Поскольку кольцо S подпрямо неразложимо, pG то либо pGnJ{S)k~1 ф (0), либо pG = 0. Если pG = 0, то 0 = ре £ J(S)k~1. Предположим, что pG П J(S)k~l ф (0). Тогда найдется такой элемент и £ G, что 0 ф ри £ J(S)k-1. Если и £ pG, то, поскольку п < 2, ри = 0. Значит, и ф pG. т.е. и - обратимый элемент. Пусть uv = е. Тогда ре = puv 6 J(S')fc_1. Итак, мы показали, что в любом случае ре £ J(S)k~1.
Пусть f(x) - критический многочлен для S. Можно считать, что для любого г
90, У) = f(xi
Действительно, если для некоторого минимального г это не выполняется, ТО многочлен Qi(ж, у) является критическим для кольца S’ и в качестве f(x)