О модальности замыканий орбит аффинных алгебраических групп

• Автор: Шаройко, Елена Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 68 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Модальность замыканий орбит группы (С*) х 8Ьг(С)

1.1 Определения и обозначения

1.2 Подготовительные леммы

1.3 Аффинный случай

1.4 Проективный случай

2 Локально транзитивные действия группы С” на проективном пространстве

2.1 Соответствие Хассетта-Чинкеля: общий случай

2.2 Соответствие Хассетта-Чинкеля: действия на проективном

пространстве

2.3 Свойства модальности
2.4 Классификация действий модальности
2.5 Примеры и дополнения
3 Локально транзитивные действия группы на
гиперповерхностях
3.1 Действия на невырожденных квадриках
3.2 Теорема единственности
3.3 Максимальные коммутативные подалгебры
3.4 Действия на вырожденных квадриках
3.5 Степень гиперповерхности
3.6 Модальность действия на квадриках

Введение
В теории инвариантов важную роль играют действия алгебраических групп с конечным числом орбит. Классическим примером является действие полной линейной группы GLn(K) над алгебраически замкнутым полем К характеристики 0 на пространстве квадратичных форм от п переменных. Хорошо известно, что формы фиксированного ранга г < п образуют одну орбиту Ог, причем О г С Or+1. Итак, при описанном действии число орбит конечно на всем пространстве, а значит, и в любом инвариантном подмногообразии. Еще один классический пример линейного действия — это присоединенное представление группы GLn(lfC) в пространстве матриц порядка п. Как известно, представителями орбит такого действия будут всевозможные жордановы матрицы. Все жордановы матрицы, лежащие в замыкании одной орбиты, имеют одинаковую диагональ, а значит, число орбит во всем пространстве бесконечно, однако замыкание каждой орбиты содержит лишь конечное число GLT, (ЕС)-орбит. Можно несколько обобщить этот пример, рассмотрев присоединенное представление произвольной полупростой группы. Как известно [8, 1.5], при этом в замыкании каждой орбиты также лежит лишь конечное число' орбит, но во всем пространстве число орбит бесконечно. С другой стороны, нетрудно привести пример действия с открытой орбитой, число орбит которого бесконечно. Например, можно рассмотреть действие группы GL„(K) на пространстве матриц MatliX„ левыми умножениями.
Для некоторых классов действий редуктивных групп конечность числа орбит известна a priori. Напомним, что торическим многообразием называется нормальное неприводимое алгебраическое многообразие, на котором задано регулярное действие алгебраического тора Т с открытой орбитой. Структура и свойства торических многообразий подробно описаны в работах [9] и [28]. Обобщая это понятие и заменяя тор на произвольную связную редуктивную алгебраическую группу G, Д. Луна и Т. Вуст [31] ввели определение сложности однородных пространств, позднее распространенное Э. Б. Винбергом [6] на произвольные нормальные G-многообразия. Сложность действия G : X ' определяется как коразмерность типичной орбиты борелевской подгруппы В на многообразии X и обозначается с{Х). G-многообразия нулевой сложности называются сферическими. Известно, что орбиты на торических (сферических) многообразиях биективно отвечают (цветным) конусам рациональных полиэдральных (цветных) вееров. Отсюда вытекает, что любое торическое (соот. сферическое) многообразие содержит лишь конечное число орбит. Результаты статей Ф. Дж. Серведио [38], Д. Луны и Т. Вуста [31] и Д. Н. Ахиезера [3] позволяют заключить, что однородное пространство G/H сферично (по отношению к естественному действию группы G) тогда и только тогда, когда при любом вложении G/II в качестве

плотной орбиты в неприводимое С-многообразие X это многообразие имеет лишь конечное число С-орбит. Именно, Ф. Дне. Серведио показал, что любое аффинное сферическое С-многообразие содержит конечное число С-орбит, Д. Луна, Т. Вуст и Д. Н. Ахиезер обобщили этот результат на произвольные сферические многообразия, и наконец, Д. Н. Ахиезер построил пример проективного вложения с бесконечным числом орбит для каждого однородного пространства положительной сложности. Э. Б. Винберг [6] и М. Брион [22] независимо доказали, что на сферическом С-многообразии конечно число не только С-орбит, по и 5-орбит. Отношение примыкания между 5-орбитами здесь описывается разнообразными комбинаторными конструкциями, обобщающими порядок Брюа на группе Вейля.
Естественной числовой характеристикой, описывающей количество орбит данного действия, является его модальность тосДС, X). Так называют максимальное число параметров в непрерывном семействе С-орбит. В частности, условие тосЦС, X) = 0 равносильно конечности числа С-орбит в X. Понятие модальности впервые появилось в работах В. И. Арнольда по теории особенностей (подробно этот вопрос освещен в [2]). Дадим строгое определение.
Пусть С - аффинная алгебраическая группа, регулярно действующая на неприводимом алгебраическом многообразии X. Хорошо известно [8, 1.4), что для точек х непустого открытого подмножества Ш С X размерность орбиты С х постоянна и принимает наибольшее возможное значение среди размерностей С-орбит на X. Определим число 6(0, X) как коразмерность в X С-орбиты точки х е ИЛ Согласно теореме Розенлихта [8, 2.3], значение 6(0, X) совпадает со степенью трансцендентности поля К(Х)С рациональных инвариантов на многообразии X. Отметим, что условие 6(0, X) — 0 означает, что действие О : X обладает открытой
орбитой, а сложность действия с(Х) совпадает с величиной 6(В,Х). Модальностью тос1(С, X) действия группы О на многообразии X называют максимальное значение 6(0, У), где У пробегает неприводимые С-инвариантные подмногообразия У С. X.
Понятие сложности действия связной редуктивной алгебраической группы на неприводимом алгебраическом С-многообразии X тесно связано с понятием его модальности. В работе Э. Б. Вииберга [6] доказана формула тос1(5, X) — с(Х). Таким образом, модальность действия редуктивной группы не превосходит его сложности. В статье Д. Н. Ахиезера [4] показано, что сложность действия в точности равна максимальной модальности в классе действий, бирационально изоморфных данному. В работах И. В. Аржанцева и Д. А. Тимашева [18] и И. В. Аржанцева [1] изучаются аффинные вложения однородных пространств, то есть вложения С/5 в качестве плотной орбиты в аффинные (-многообразия. В первой из этих статей описаны все аффинные однородные пространства, любое аффинное

Щхі,Х2, хз,хА]/{х Х, ХХ2, ХХз, Х2Х3 — ж4, т2 х2> X
/ 1 0 0 0 0
аі 1 0 0 0
/°б(а1> а2 аз, а4) = а2 0 1 0 0
аз 0 0 1 0
V а4 + аіаз + а-і аз а2 1
Rj = Щхі, X2, X-J, xA]/(xj, xl, xl, X1X2 - Хд,Х1Хз,Х2Х3),
/4(аь а2і аз, «4)

1 О О
О 0 О О

У &4 С&1&2 &2 0 1 у
і?8 = К[гі, Х2, Хз, ж4]/(.її - ж4, х, х, ХіЖ2, Х1Ж3, Ж2Хз, Х1Х4),
Р8(аі,а2,аз,а4)

О 0 0 0
ІООО

аі 0 0 1
Рэ(аъ а2, аз, а4)
V а4 + %
Rl = Щхі, х2, Хз, Хі}/(xiXji, j = 1
/1 О О О о аі 1 О О О
а2 О 1 О О
аз О О 1 О
а4 О О О 1 J
В работе [29] показано также, что при п — 5 число соответствующих алгебр также конечно, а при п > 6 это уже не так.
Кроме того, при изучении локально транзитивных действий G" : Р" Б. Хассетт и Ю. Чинкель доказали единственность действия с конечным числом орбит в каждой размерности.
Предложение 2.1. [29, Proposition 3.7] Для любого натурального числа п на проективном пространстве Рп существует единственное локально транзитивное действие группы G” с конечным числом орбит. Ему отвечает алгебра
Rn = К[жі