Лиевские многообразия с нецелочисленными экспонентами

• Автор: Богданчук, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 91 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
1.1. Необходимые определения и понятия
1.2. Асимптотика степени неприводимых характеров симметрической группы
Глава 2. Об экспонентах многообразий алгебр Ли
2.1. Дискретная серия алгебр Ли с различными дробными экспонентами роста их коразмерностей
2.2. Некоторые подмногообразия многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй картановского типа общей серии ІУ
Глава 3. Дробные экспоненты многообразий в других классах алгебр
3.1. Серия многообразий алгебр Лейбница с нецелочисленными экспонентами
3.2. Р1-экспоненты некоторых простых конечномерных алгебр с единицей
Литература

Введение
Изучение алгебр с точки зрения выполняющихся в них тождественных соотношений является классическим направлением исследований. Этот подход является актуальным и при изучении алгебр Ли.
Вместе с исследованием конкретной алгебры продуктивно изучать целый класс алгебр, имеющих какие-то схожие свойства. В качестве таких классов алгебр естественно выбирать их многообразия, определяемые как совокупности алгебр, удовлетворяющих фиксированному набору тождеств. Задание тождеств может быть явным, например,- коммутативности, так и неявным, например,- определив многообразие, порожденное какой-нибудь фиксированной алгеброй: все алгебры многообразия должны удовлетворять ее тождествам, даже если они не описаны явным образом. В этом случае избранная алгебра называется носителем построенного многообразия. Таким носителем может служить счетиопорожденная относительно свободная алгебра многообразия, не имеющая никаких соотношений, кроме заданных тождеств и их следствий. Известно, что многообразием является класс алгебр, устойчивый относительно подфакторов и декартовых произведений.
Объектом исследования данной диссертационной работы являются многообразия алгебр Ли и алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.
Алгебры Ли появились в математике в конце 19 в. в связи с изучением групп Ли, а в неявной форме несколько раньше в механике. Сам термин "алгебра Ли" был введен Г. Вейлем в 1934 в честь норвежского математика Софуса Ли. До этого времени использовались термины "инфинитезималь-ные преобразования рассматриваемой группы" или "инфинитезимальиая группа".
Напомним, что алгебра Ли — векторное пространство А над нолем F,

снабженное билинейным отображением (х,у) н->- [х, у], удовлетворяющим следующим двум тождествам: 1.[ж,ж] = 0; 2.[[ж,г/],г] + [[у,2],®]-1-[[г,а;],2/] = 0. Ассоциативная алгебра обладает естественной структурой алгебры Ли, если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: [ж, у] = ху — ух. Также известна теорема Биркгофа-Витта (доказательство можно найти, например, в книге А.Г. Куроша, см. [14]):
Для всякой лиевой алгебры L над любым полем существует такая ассоциативная алгебра R над этим же полем, что алгебра L изоморфно вкладывается в алгебру L(R).
Хорошо известно, что характеристика основного поля существенно влияет на свойства алгебр, их многообразий и приемы их исследования. Например, в случае ассоциативных алгебр при нулевой характеристике основного поля А.Р. Кемером (см. [12]) была положительно решена проблема Шпех-та конечной базируемости идеала тождеств произвольного многообразия. В тоже самое время проблема Шпехта в общем случае над полем положительной характеристики была решена отрицательно А.Я. Беловым (см.
[2]), A.B. Гришиным (см. [5]) и В.В. Щиголевым (см. [26]). Поэтому сразу оговорим, что характеристика основного поля, которое мы обозначим Ф, на протяжении всей работы равна нулю. В середине прошлого века А.И. Мальцев (см. [15]) доказал, что в случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно системе полилинейных тождеств. Таким образом, вся информация о многообразии V содержится в последовательности пространств Рп{у), п — 1,2,..., состоящих из полилинейных элементов относительно свободной алгебры этого многообразия. Поэтому важной характеристикой многообразия является последовательность коразмерностей - неотрицательных целых чисел c„(V) = dimPn(V), п = 1,2,... -размерностей пространств полилинейных элементов. Рост этой последовательности называется ростом многообразия. Выделяют многообразия по-

Как было показано, у = 1 /q(s) является корнем уравнения:
у2 + 2у3 + ... + (s - 3) • ys~2 + {s- 2) ■ у8-1 = 1.
Аналогично 2 = 1 /q(s + 1) - корень уравнения:
z2 + 2z3 + ... + (s - 3) • zs~2 + (s - 2) • zs~l + (s - 1) • zs =
Если бы для некоторого s выполнялось неравенство q(s + 1)_1 > q(s)~1, тогда выражение от г заведомо превосходило бы выражение от у, но обе их правые части равны 1. Следовательно, q(s + I)-1 < g(s)-1 и 9(s+l) > 3.
(3) Последовательность q(s) монотонна и ограничена, значит, существует предел g(+oo) = lim q(s) G (1,21. Тогда l/q(+oo) G [0.5,1) является

решением уравнения:
1 = х2 + 2х3 -I- 1 (s — 2) • х8“1 Ч = х2/(1 — х)2 .
Следовательно, 1/д(Ч-оо) = 0.5 и д(ч-оо) = 2.
Этот предел можно вычислить иначе. Число q(4) является положительным корнем уравнения:
-х3 + х + 2 = х+(2 — х3) = 0 ,
поэтому 2 — q(4)3 < 0, и при s > 4 имеем оценку q(s) > ^2.
Теперь из уравнения — g(s)8+14-2g(s)8 — (s — l)-g(s)+3 — 2 = 0 получаем равенство и оценки:
0 < 2 - q(s) = (5~1)-g(g)-5 + 2 < (s — 1) ~ 2 — я + 2 =
q['} q{sY 2-/3 2S/
что и дает нам значение искомого предела. Лемма 4 доказана.
Пусть F(s) = maxF(ai,..., as) и ccj(s), г = 1,..., s - экстремальные

значения переменных.
Лемма 5.