Квазислойно-конечные и квазилокально-нормальные группы

• Автор: Калачева, Светлана Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 68 с.

1 Предварительные сведения

1.1 Слойно конечные, локально нормальные и РС-группы

1.2 Результаты общего характера

1.3 Группы с инволюциями

1.4 Группы, заданные непредставлениями

1.5 Достаточные условия бесконечности централизатора элемента

2 Редукция к простым группам

2.1 Некоторые свойства квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных

групп

2.2 Теоремы существования

2.3 О некоторых подгруппах простой квазнслойно-конечной группы

2.4 О некоторых подгруппах простой квазилокально-нормалыюй группы
3 К вопросу о расщепляемости
3.1 Техника вееров
3.2 Вееры максимальных подгрупп
3.3 Достаточные условия расщепляемости
4 Пары порождающих элементов
Список литературы

Группы с различными условиями минимальности Черникова — классический объект исследований абстрактной теории групп. Результаты О.Ю. Шмидта [37], С.Н. Черникова [32]-[36], В.П. Шункова [38, 39], АЛО. Ольшанского [13] и др., прочно обосновали это направление в теории бесконечных групп.
Условия минимальности Черникова — есть условия обрыва убывающих цепей подгрупп, удовлетворяющих заданному свойству. Поэтому, в случае отрицательного решения проблемы Черникова, к ней всегда существует минимальный контрпример — группа, все собственные подгруппы которой принадлежат заданному классу групп, сама же она этому классу не принадлежит.
Пусть ст некоторое теоретико-групповое свойство. Не ст-группа, все собственные подгруппы которых являются ст-группами, называется минимальной не-ст-группой или, в используемой нами терминологии, квази-а-группой ([12], вопрос 14.83). Следуя этому определению, ква-зиконечной, квазичерниковской, квазислойно-конечной, квазилокально-нормалъной и Kea.3u.-F С-группой называется группа, все собственные подгруппы которой соответственно конечны, черниковские, слойно-конечны, локально нормальны или ^С-группы, сама же группа указанным свойством не обладает. Отметим, что данное определение согласовано с определениями квазиконечных и квазициклических групп в [13], но не совпадает с определением квазиабелевой группы (группы с конечным коммутантом), используемым в [2].
Чтобы сформулировать цели проводимых исследований обратимся к результатам О.Ю. Шмидта. Согласно известной работе О.Ю. Шмидта [37] (1947), все нормальные подгруппы квазичерниковских р-групп

центральны, а их фактор-группы по центрам просты и не содержат подгрупп конечного индекса. Там же доказано, что любые две максимальные подгруппы квазичерниковской простой р-группы пересекаются по единице. При р — 2 последнее свойство приводит к противоречию [37], поскольку любые две инволюции в периодической группе порождают конечную подгруппу. При нечетном р анализ строения контрпримера в к противоречию не приводит. Множество всех максимальных, подгрупп группы (7 составляет ее расщепление, а любая пара ее неединичных элементов, взятых из разных компонент расщепления, порождает всю группу. Как доказал А.Ю.Ольшанский (1980 г.) [13], при любом нечетном р простые квазичерниковскиер-группы действительно существуют. При этом, им же показано, что для любого счетного множества конечных или черниковских р-групп, их свободная амальгама может быть вложена в квазичерниковскую простую р-группу. Таким образом, в случае квазичерниковских р-групп мы имеем почти идеальную согласованность между результатами абстрактной и комбинаторной теориями групп.
Возникает вопрос, все ли контрпримеры к проблемам минимальности Черникова имеют аналогичное строение? Можно ли с помощью методов абстрактной теории групп приблизиться к границе, очерченной комбинаторной теорией групп в данном направлении? Решению этих задач в классах квазислойно-конечных и квазилокально-нормальных групп и посвящена данная работа.
Для квазиконечных групп (бесконечных групп Шмидта) аналогичные исследования проводились Н.П.Струнковым, В.П.Шунковым, А.И.Созутовым.
Слойно конечные и локально нормальные группы в силу своего
2. Если в группе О существуют две максимальные подгруппы Н, М с нетривиальным пересечением Т = Н Г) М, не являющиеся группами Фробениуса, то группа С7 действует вершинно-транзитивно на бесконечном однородном локально конечном графе, стабилизатор вершины в которой — конечная максимальная подгруппа.
Доказательство. 1. Согласно условию теоремы любой неединичный элемент группы С? содержится в некоторой ее максимальной подгруппе. Среди максимальных подгрупп группы (7 вначале выделим следующие классы
(I) конечные подгруппы, каждая из которых имеет тривиальное пересечение с любой другой максимальной подгруппой группы (7;
(II) бесконечные подгруппы, каждая из которых имеет тривиальное пересечение с любой другой максимальной подгруппой группы С?;
(Ш) бесконечные подгруппы, имеющие нетривиальное пересечение с какой-либо-конечной-максимальной подгруппой группы С.
Оставшиеся максимальные подгруппы М, если они есть, все конечны и имеют нетривиальные пересечения, а значит по условию теоремы являются группами Фробениуса Дд/АТм- Определим теперь последние два класса
(пг) ядра Дд^ всех подгрупп Му
(у) те неинвариантные множители Тм подгрупп М, которые не содержатся в подгруппах класса (ш).
Понятно, что некоторые из введённых классов могут быть пустыми, что не ограничит общности дальнейших рассуждений. Также очевидно, что объединение всех подгрупп введённых классов совпадает с группой С7. Осталось показать, что подгруппы из введённых классов попарно пересекаются по единице. Для подгрупп из классов (1), (и) это следует из