Индуктивные методы в теории минимальных моделей

• Автор: Прохоров, Юрий Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 205 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Предварительные сведения

5 1.1. Обозначения и соглашения

5 1.2. Логтерминальные модификации

5 1.3. О классификации трехмерных терминальных особенностей

5 1.4. Двумерные торическое особенности и логканонические

особенности с приведенной границей

§ 1.5. Формула присоединения

§ 1.6. Дополнения

Глава 2. Исключительные особенности и экстремальные

стягивания
§2.1. Исключительность
§ 2.2. Чисто логтерминальные раздутия и исключительность
§ 2.3. Исключительные факторособенности
§ 2.4. Гиперповерхностные исключительные особенности
5 2.5. Ограниченность небирациональных экстремальных
стягиваний
5 2.6. О классификации стягиваний Мори: случай эллиптической
кривой
Глава 3. Мори расслоения на коники
5 3.1. Элементарные свойства
§ 3.2. Факторы расслоений на коники
5 3.3. Мори расслоения на коники индекса 2
§ 3.4. Классификация при условии сильной 1-дополняемости
§ 3.5. Мори расслоения на коники с приведенной границей 1.
§ 3.6. Случай одной негоренштейновой точки
§ 3.7. Случай одной негоренштейновой точки и неособой базы
Глава 4. Существование хорошего дивизора на логмногообразиях

5 4.1. Известные предварительные результаты
5 4.2. Техника Кавамнты
§ 4.3. Существование хороших дивизоров на трехмерных
логмногообразиях Фано индекса 1

§ 4.4. Существование хороших дивизоров на четырехмерных многообразиях Фано индекса 2 с каноническими
особенностями
§ 4.5. Существование гладкого дивизора на пятимерных
многообразиях Фано индекса 3
§4.6. Приложения: трехмерные многообразия с гииерплоскими
сечениями - поверхностями Энриквеса
Глава 5. Приложения
§ 5.1. О гипотезе Шокурова: характеризация торических
многообразий
§ 5.2. О логканонических порогах
§ 5.3. О разрешении трехмерных терминальных особенностей
Литература
Введение
1. Теория минимальных моделей алгебраических многообразий зародилась в 80-х годах, когда С. Мори [59] ввел несколько новых идей в бирациональную теорию многомерных алгебраических многообразий. Почти одновременно М. Рид [67], [68] явно сформулировал программу минимальных моделей и начал изучение этих моделей в размерности 3. С этого времени трехмерные алгебраические многообразия стали предметом исследования многих математиков, что привело к глубоким структурным теоремам. Теория минимальных моделей требует расширения категории неособых многообразий до категории многообразий с некоторыми допустимыми особенностями (терминальными, каноническими, логтерминальными, и т.д.). Кратко, цель программы состоит в следующем: для данного проективного алгебраического многообразия X с лишь терминальными О-факториальными особенностями, построить многообразие Xі бирационально изоморфное X и также имеющего терминальные О-факториальные особенности, для которого выполнено одно из двух: или канонический дивизор Кх> численно эффективен (в этом случае X' называется минимальной моделью), или существует расслоение X' —> Z над многообразием меньшей размерности для которого антиканонический дивизор —Кх1 относительно обилен (в этом случае Xі называется моделью 0>-Фано). При этом бирациональный изоморфизм X —> Xі раскладывается в композицию двух типов элементарных преобразований: дивизориальных стягиваний и флипов. Обобщением программы минимальных моделей является ее логарифмическая версия или лог ПММ, применяемая к парам (X, Б), состоящим из многообразия и границы О-дивизора с коэффициентами 0 < < 1.
В настоящее время трехмерная (логарифмическая) программа минимальных полностью завершена в работах Мори, Рида, Каваматы, Шо-курова и др.* Однако для ее полноценного применения необходимы следующие компоненты:
’Совсем недавно наметился прогресс в доказательстве существования многомерных логфлипов - одной из основных проблем в гипотезе о минимальных моделях (см. [Shokurov V.V. Prelimiting flips, preprint]). В этой работе доказывается существование четырехмерных логфлипов и предлагается индуктивный подход к их построению в произвольной размерности

Следствие 2.1.5. Пусть (X/А Э о, Д) - исключительное логмно-гообразие локального типа, пусть 5 - центральный дивизор. Тогда центр Б на X содержится в слое над о.
Доказательство. Пусть К + Б - О-дополнение такое, что сИвсг(И, Б) = --1 и пусть Н - общее гиперплоское сечение многообразия Е, проходящее через о. Если /*Н не содержит центр 8, то тиК»? /*# — 0 и сИвсг^, Б) = (11ьсг(5, Б + с/*Н) = -1 для всех с. Возьмем с, для которого К + Б -Ь с/*# максимально логканоничен. Тогда, как и в доказательстве предложения 2.1.3, дзст(Е,Б + сф*В) ~ —1 для некоторого Е ф 5, противоречие. □
Пример 2.1.6. Рассмотрим логканоничсскую особенность X э о (т.е. А" — 2 и Д — 0). Тогда эта особенность исключительна, если и только если для любой границы В на X такой, что К + В логканоничен, существует не более одного дивизора Е поля ЗС(А) с сПвсг(Е,В) = —1. Например, двумерная логтермипальная особенность исключительна, если и только если она имеет тип Ее, Ег или Ев (см. [78, 5.2.3], а также предложение 2.3.10). Заметим, что эти особенности ограничены. В противоположность, неисключительные логтерминаль-ные по Кавамате особенности принадлежат двум бесконечным сериям
и IV Изолированная логканоническая нелогтерминальная по Кавамате особенность (X, о) исключительна, если и только, если имеется ровно один дивизор с дискрепантностыо ц(-,0) = —1.
В глобальном случае определение 2.1.2 имеет несколько другую форму:
Определение. Пусть (X, Д) - логмногообразие глобального типа. Предположим, что К + Д имеет хотя бы одно п-дополнение. Тогда говорят, что логмногообразие (А’, Д) исключительно, если любое 0-дополнение К + Д+ дивизора К + Д логтерминально по Кавамате (т.е. сН8Сг(Я, Д+) > —1 для любого дивизора Е поля ЗС(А)).
ПРИМЕРЫ. (О Пусть X — Р1, Е = р! и пусть Д = 53!=а(1 “ 1 /т()Рг, Шг € М, где Р,..., РТ - различные точки. Дивизор —{К + Д) численно эффективен, если И ТОЛЬКО если — 1 /т,) < 2. В
этом случае, набор (тг,... ,тг) дает нам исключительную пару, если и только если он (с точностью до перестановок) - один из следующих:
Е6 : (2,3,3) Е7: (2,3,4) Е8 : (2,3,5)
Ё6 : (3,3,3) Ё7: (2,4,4) Ё8 : (2,3,6)
Б4 : (2,2,2, 2)
(11) Пусть А' = Р4, Е = р! и пусть Д = ХЖ?(1 ~ 1/тг)Дь € N. где Дь..., Дй | 2 _ гиперплоскости в Рй. Логдивизор — (К + Д) численно эффективен, если и только если У]1/Ш; < 1. Если логнара (А, Д) исключительна, то дивизор —(К 4- Д^- Н- 53^(1 — 1/т,-) Д,) не является численно