Задача погружения и ее применения : индекс Шура, оптимальное управление

• Автор: Киселев, Денис Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 121 с.

Содержание
0 Введение
0.1 Актуальность темы
0.2 Цель работы
0.3 Методы исследования
0.4 Теоретическая и практическая ценность
0.5 Результаты автора по теме диссертации
0.6 Структура и объем диссертации
0.7 Апробация работы
0.8 Благодарности
1 Вспомогательные утверждения
1.1 Индекс Шура
1.1.1 Теорема Брауэра-Витта
1.1.2 Теорема Бенарда-Шахера
1.1.3 Результаты С. Д. Бермана об индексе Шура
1.1.4 Об одном результате Ю. JI. Баранника
1.2 Задача погружения
1.2.1 Алгебры Галуа
1.2.2 Подъем, спуск, сопутствующие задачи
1.2.3 Описание решений задачи погружения
1.2.4 Условие согласности, универсальная согласность
1.2.5 Условия погружения А. В. Яковлева
1.2.6 Об одной теореме Д. К. Фаддеева
2 Ультраразрешимые задачи погружения
2.1 Сингулярные и регулярные решения
2.2 Примеры
3 К теореме Голдшмидта-Айзекса
3.1 Исключительный случай р —
3.2 Новые достаточные условия
3.2.1 Об условии Фейна
3.2.2 Алгоритмический признак

3.2.3 Другой достаточный признак
3.2.4 Оценка индекса Шура над полем (

4 Оценка индекса Шура
4.1 Описание главы
4.2 Доказательства теорем
4.3 Критерий согласности расширения

5 Линейная независимость корней многочлена

5.1 Введение
5.1.1 Иррациональная обмотка тора .
5.2 Доказательство линейной независимости
5.3 Примеры
5.4 Обмотка тора
О Введение
0.1 Актуальность темы
Настоящая диссертационная работа посвящена во многом изучению как взаимосвязей между фундаментальным понятием индекса Шура (см. [62]) неприводимого комплексного характера конечной группы и разделом теории Галуа, известным как задача погружения (см. [16]) так и доказательству отдельных новых результатов в каждой из перечисленных областей.
Представляет довольно большой интерес построение оценок индекса Шура неприводимого комплексного представления конечной группы относительно поля рациональных чисел. Существует множество подходов к решению данной проблемы. Все они так или иначе используют различные редукционные средства (наиболее важным из них является, пожалуй, теорема Брауэра-Витта (см. [46, theorem 74.38]), и получаемые оценки могут быть трудно вычислимы, если про строение группы известно не очень много. Однако на практике приходится сталкиваться с необходимостью нетривиально оценивать индекс Шура ’'равномерно” по всем конечным группам заданного порядка или экспоненты и т.п. Такие ’’равномерные оценки” уже могут быть вычислены практически без использования какой-либо информации о внутреннем строении данной группы

(во многом это относится к таблице характеров а также к р-локальному строению). Представляет интерес помимо оценок индекса Шура еще и нахождение по возможности меньшего по размерности над Q поля алгебраических чисел, в котором данное неприводимое комплексное представление реализуется. Например, вопрос существования такого поля в n-круговом поле, где п-порядок или экспонента группы, весьма нетривиален [61]. Проблемам ’’равномерных” оценок индекса Шура посвящены главы 3,4.
С другой стороны, теория задач погружения предоставляет дополнительные средства для исследования индекса Шура, так как хорошо известное условие согласности Фадцеева-Хассе (см. [5] а также [54, 55]) для задач погружения с абелевым ядром представляет собой по существу критерий равенства индекса Шура единице над фиксированным полем. Такая точка зрения используется в главе 3 для упрощения некоторых доказательств а также в главе 4 уже по существу. Можно, однако, на основании результатов из теории индекса Шура исследовать некоторые вопросы теории погружения. Примеры этому приводятся в главе 4.
Существует довольно интригующая проблема в теории погружения, касающаяся решений таких задач. В теории задач погружения решения наиболее естественно искать в классе алгебр Галуа. Это дает возможность особенно в случае абелева ядра использовать аппарат гомологической алгебры. Именно на этом пути A.B. Яковлевым (см. [41]) было найдено необходимое и,достаточное условие существования решения задачи погружения в случае абелева ядра. Наиболее значительным применением теории погружения стало доказательство теоремы И. Р. Шафаревича о реализуемости конечной разрешимой группы в виде группы Галуа относительно произвольного поля алгебраических чисел (см. [36]-[39]). Это оказалось возможным потому, что в глобальных полях разрешимость задачи погружения с абелевым (теорема Д. К. Фаддеева-А. Шольца [16, Гл. 3,§6. теорема 3.6]) и, более общо, нильпотентным ядром (см. [15]) в смысле алгебр Галуа равносильна разрешимости в смысле полей. Последнее, к сожалению, возможно далеко не всегда. Простейший пример -задача погружения конечного расширения конечных полей в поле с нециклической группой Галуа. Более сложный пример - погружение конечного р-расширения р-локальных полей в поле с р-группой Галуа, число образующих которой больше числа образующих группы Демушкина (см. [7],[9],[10]) оенов-

идеал І — 0.рСи алгебры <0^(3, соответствующий характеру х, где идемпо-тент и Є Ор<3 получается в результате сложения всех идемпотентов алгебры Ор(є, £)С, (^-сопряженных с идемпотентом
Элемент b ги можно представить в виде произведения b ги — гв(г)9(г)..., где
Кроме того, ввиду (1-25) и (1.26), элемент г перестановочен с элементом с. Значит, можно образовать следующий идемпотент алгебры /:
Нетрудно проверить, что (IV : <0»р) = (0>р(е, £) : <0>р). Ввиду формул (1.16) отсюда вытекает, что /-полное матричное кольцо над своим центром. Так
Из теоремы Брауэра-Витта (см. теорему 1.3), теоремы 1.7 а также леммы 1.11 вытекает
Теорема 1.8. Пусть G-конечная группа, в х 6 IrrG. Если р ф 2, то m Теоремы 1.8 достаточно, чтобы дать упрощенный вывод оценки Бермана-Ямады (см. теорему 4.1). Однако, для доказательства теоремы 4.3 нам понадобятся еще некоторые результаты.
Пусть теперь конечная группа G представляется в виде полупрямого произведения G — Н X G', где Н = (а) - циклическая нормальная подгруппа порядка ра, а порядок подгруппы G' взаимно прост ср. Пусть е,..., es-полная система минимальных попарно ортогональных идемпотентов кольца ZpG, а ёь. .., es-идемпотенты алгебры FpG, получающиеся приведением по модулю р. Пусть далее и-минимальный идемпотент алгебры QPH, V = QpHu, О = ХрНи. Тогда (V : Qp) = р(р1)- Идеал V можно отождествить с полем Qp(£), где примитивный корень степени р1 из единицы (1 I—^ и, au I—У £), а
как N1 = N, если р ф 2, и (N' : N) | 2 при р = 2, то лемма полностью
доказана.