Диофантовы приближения некоторых логарифмов

• Автор: Золотухина, Екатерина Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 100 с. : ил.

1 Введение

1.1 Идея симметризованного интеграла

1.2 Основные леммы

1.3 Результаты диссертации

2 Рациональные приближения логарифмов рациональных чисел

2.1 Новый подход к доказательству теоремы 2.1 (после Е. А

хадзе)
2к +

2.2 Рациональные приближения чисел вида log-^ , к & N,

к>2

2.3 Меры иррациональности для log — и log

2.4 Совместные приближения логарифмов чисел - и

3 Приближения некоторых логарифмов квадратичными иррациональностями
3.1 Доказательство леммы 1
3.2 Логарифмы рациональных чисел
3.3 Логарифмы некоторых квадратичных иррациональностей

4 Рациональные приближения логарифмов некоторых квадратичных иррациональностей
4.1 Меры иррациональности для чисел л/5 log и /2 log |^|уу
4.2 Оценка для показателя иррациональности числа /31og(2+/3) 90 Литература
Приложение
Рисунок 1. Линии уровня функции |/i(t)|
Рисунок 2. Линии уровня функции | /і (£) I
Рисунок 3. Линии уровня функции ] f7i (t) I

Глава
1.1 Идея симметризованного интеграла
Показателем иррациональности или мерой иррациональности д(7) вещественного числа 7 называется нижняя грань множества чисел Л, для которых, начиная с некоторого положительного д > до (Л), выполняется неравенство
7 — - > д~А, р £ Ъ, д € N.

Аналогичным образом может быть определена оценка снизу для приближения числа 7 квадратичными иррациональностями. В этом случае указанное выше, неравенство примет вид
Р1/5 + Р2

> Р~
РЗ^ + р4
где ръ р2) р-з, Р4 е 2, (рз,Ра) ф (О.о), Р = тах(|р!|, |р2|, Ьз|, |Р4|), Р > Р0(Л), с!еМ, л/5 $ N.
Цель данной работы - получить новые оценки снизу приближений некоторых логарифмов рациональными числами и квадратичными иррациональностями.

2.3 Меры иррациональности для log | и log
Здесь выбираем в (1.6) a = 18, /3 — 3, 7 = 2, v = 15, w = 20, a = 6, b = 5, с = 3, d — 6, тогда
7(6,5,3,6; 15,20; 18,3,2)

Г {х - 15)6п(х - 16)5п(ж - 18)6Дж - 20)5"(.т: - 21)6п , . .
= У ^«(36 Лх- <2'54>

В данном случае, подобно лемме 2.11, может быть доказана справедливость следующего представления
51бп22325_5"7(6,5, 3,6; 15,20; 18,3,2) = ^ + рп, 9п, Рп € 2. (2.55)
Применим лемму 1.1 для линейной формы (2.55). Обозначим (х - 15)6(ж - 16)5(ж - 18)6(х - 20)5(ж - 21)6
ж6 (36 — х)6 t-A (t - 324)е
Корнями уравнения — log( h = 1.1871.... t2 = 6.5438..., i3 = 563.0189
Далее, аналогично доказательству теоремы 2.3, имеем
5 — — (16 — 5 log 5 + log| Таким образом, ^(log(7/4)) < 1 + 63.6276 ... /8.6893... = 8.3224 — Теорема 2.4 доказана.