Гиперболичность, SQ-универсальность и некоторые другие свойства групп с одним определяющим соотношением

• Автор: Безверхняя, Наталия Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 111 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Гиперболичность некоторого класса групп

§ 1. Предварительные сведения и леммы

§ 2. Полное описание гиперболических и негиперболических групп, являющихся /УЛ/Л'-расширениями двупорожденной свободной
группы

§ 3. Полное описание гиперболических и негиперболических групп,

являющихся некоторым /У№У-расширениями свободных групп

§ 4. Описание гиперболических и негиперболических групп в классе групп Гуревича

Глава 2.52-универсальность некоторых негиперболических

групп с одним определяющим соотношением
§ 1. Предварительные сведения и леммы
§ 2. 52-универсальность групп; ййею’гцйх представление
О* - (а,ЬЛ; Г'а1 = Ъ, Г!Ы = атЬпгде п, те N
§ 3.52-универсальность групп, имеющих представление
С* = {я,М; РхаУ = 6, Г1Ы = хи>0х~х^
§4.52 -универсальность групп Баумслага
§ 5. Свойство Хаусона для некоторого класса групп с одним
определяющим соотношением
§ 6. О квазивыпуклости подгрупп некоторого класса гиперболических групп с одним определяющим соотношением
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена изучению свойств групп с одним определяющим соотношением, а именно, гиперболичности групп, ^-универсальности, свойства Хаусона и некоторых других.
Группы с одним определяющим соотношением представляют собой естественное расширение класса свободных групп, с которыми они обнаруживают определенное сходство. Исторически впервые ими заинтересовались по той причине, что таковы фундаментальные группы замкнутых двумерных многообразий.
Первый общий и притом один из наиболее поразительных и полезных результатов исследований о группах с одним определяющим соотношением - это теорема о свободе, сформулированная Дэном и доказанная Магнусом (1930). Несколько иное доказательство можно найти у Линдона (1972).
Второй основной результат в теории групп с одним определяющим соотношением - это решение Магнусом (1932) проблемы равенства слов для таких групп.
Б. Ньюман (1968) анонсировал решение проблемы сопряженности в классе групп с одним определяющим соотношением с кручением. В 1990 г. В.Н. Безверхний решил проблемы сопряженности и степенной сопряженности для этого класса групп [1], [2].
Центр групп с одним определяющим соотношением был изучен Му-расуги (1964). Баумслаг и Тейлор (1968) доказали существование алгоритма определения центра групп с одним определяющим соотношением. Под-

группы групп с одним определяющим соотношением изучались Каррасом и Солитером (1971) и A.A. Чеботарем [18].
Шуппом и Сасердотом (1974) было показано, всякая группа с одним определяющим соотношением, имеющая не менее трех образующих, является Sg-универсальной [49].
Вопрос об определении класса гиперболических групп среди всех групп с одним определяющим соотношением является весьма важным. Словарно гиперболические группы, введенные М. Громовым (1988) [31] играют значительную роль в последних достижениях геометрической теории групп. Оказалось, что многие группы, возникающие в традиционных геометрических контекстах, такие как фундаментальные группы компактно замкнутых многообразий ограниченной отрицательной кривизны, являются гиперболическими. Более того, гиперболические группы обладают рядом ценных алгоритмических и комбинаторных свойств, которые несправедливы в классе конечно представленных групп в общем. Например, в гиперболических группах разрешимы проблемы равенства и сопряженности слов. Геометрическое доказательство этих факторов дал М. Громов (1988) [31], а алгебраические - И.Г. Лысенок (1989) [13]. В классе гиперболических групп без кручения 3. Селом решена проблема изоморфизма (1995) [50]. Р.И. Григорчук и Г.Ф. Курчанов дали описание решений квадратичных уравнений в гиперболических группах (1990) [7]. А.Ю. Ольшанский доказал, что все гиперболические, неэлементарные группы являются SQ-универсальными (1995) [16].
Фундаментальные группы замкнутых ориентированных поверхностей рода не менее 2 являются конечно порожденными группами с одним определяющим соотношением. Как оказалось, они словарно гиперболические, так как удовлетворяют линейному изопериметрическому неравенству [10],

Так как никакая циклическая перестановка ((&«'*)*)* не принадлежит подгруппе (ь,ахЬ'х~1а~1^, то по лемме 1.8 (а) И^(ьа-к}им = (ахЬ'х 'я 1)' ,
чего не может быть, так как число вхождений букв а±[ в левую часть равенства отлично от нуля, а число вхождений букв а±] в правую часть равенства равно нулю. Лемма доказана.
Отметим теперь, что группа С = (а, Ь) - гиперболическая как свободная группа ранга 2 [31], подгруппы а_1(С) и а,(С) квазивыпуклы в (7 как подгруппы свободной группы [35]. Теперь, чтобы воспользоваться комбинаторной теоремой Бествина, достаточно показать, что всякий аннулятор длины 5 и шириной не более, чем р и обхватом не менее #(р) будет X-гиперболическим.
Рассмотрим следующие возможности.
1) Группа С* имеет представление
С’ =(а,Ь,1т, ГХМ = Ь, 1~ХЫ = ам>0а^, и^^я).
Положим С = 6’ = (йг,А), а_|(с)=С, а,(С)= Н = (Ь, причем
а_,(я)=я, а,(я) = А, а^(ь) = Ь, Пусть <р - эндоморфизм
(я, Ь) —>{б, и>), такой что ф(я) = 6, ф(б)=»г и пусть /-свободноприведен-ное слово в группе С.
Так как н*11 начинается и заканчивается на а±х соответственно, то элементы ф^я11) и ф*(/г') имеют различные первые и последние буквы. Например, если фА (а±х )= а±хХа±], то фА [р±х )= Ь±ХУЬ±1, либо наоборот.
Следовательно, фА (/) является свободноприведенным словом, кроме того, справедливы неравенства
/(Ф2(/))>/(*)/(/), (16)
/(Ф(/)) >(/). (17)