Первичный радикал алгебр Ли, удовлетворяющих дополнительным условиям

• Автор: Поляков, Владимир Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 52 с. : ил.

Список обозначений

1 Первичный радикал алгебр Ли

1.1 Основные определения и формулировки

1.2 Первичный радикал кольца многочленов над алгеброй Ли

2 Первичный радикал артиновых алгебр Ли

2.1 Первичный радикал артиновых специальных супералгебр

2.2 О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли

3 Полупервичные слабо разрешимые алгебры Ли

3.1 Пример ненулевой локально нильпотептной полупервичной алгебры Ли

3.2 Пример первичной слабо разрешимой алгебры Ли

Литература

Список обозначений
А- ассоциативная алгебра А по отношению к операции коммутирования [ж, у] = ху
[А] - ассоциативная супералгебра А по отношению к операции коммутирования, определенной на однородных компонентах по формуле [х,у] = ху — (—1 )а№а(у)ух, где а(х) - номер однородной компоненты II(Ь) - универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли Ь С5-алгебра Ли - обобщенно специальная алгебра Ли БРІ-алгебра Ли - специальная алгебра Ли Пп - алгебра матриц порядка я над алгеброй В АсІЛ - присоединенная ассоциативная алгебра для алгебры Ли Ь [а, 6] - коммутатор элементов в ассоциативной алгебре или алгебре Ли [а, 6] = а-16-1а6 - коммутатор элементов а и 6 в группе аР = д~хад - сопряженный элемент к элементу а группы Z{D) - центр алгебры Н
Р(А) - первичный радикал ассоциативной алгебры А Р(Ь) - первичный радикал алгебры Ли Ь
я/(я, Л) - специальная линейная алгебра порядка п над полем Л Р[хі,Ж2,хп] - кольцо многочленов над полем і7 Р{хі, Х2,хп) - свободная ассоциативная алгебра над полем Р с образующими Х,Х2,-.,Хп
Ьр(хі,Х2, ...,жп) - свободная алгебра Ли над полем і*1 с образующими ®1) Х2) •••; Хп
< х, Х2, хп>р - алгебра Ли или ассоциативная алгебра над полем і*1, порожденная множеством ті, Х2,хп
Областью исследования диссертационной работы является “теория радикалов алгебр Ли”. Теории радикалов алгебр Ли посвящены такие работы как [37], [40], [41],[14], [4], [5] и др.
Цель работы - изучение свойств первичного радикала алгебр и супералгебр Ли, на которые наложены дополнительные условия: артино-вость, локальная нильпотентность, слабая разрешимость.
Актуальность темы диссертации. Начало создания теории конечномерных алгебр Ли относится к концу XIX века. Оно связано с именами таких математиков как Софус Ли, Ф. Энгель, Э. Картав, В. Киллинг и др. [10, стр. 453].
По аналогии с теорией групп было введено понятие разрешимой и нильпотентной алгебр Ли. В. Киллинг ввел понятие радикала и полу-простой алгебры Ли.
В дальнейшем развитие теории конечномерных алгебр Ли привело к классификации конечномерных простых алгебр Ли над полем характеристики нуль, доказательству теоремы Леви-Мальцева и многих других.
Конечномерные алгебры Ли возникли при изучении групп Ли. В настоящее время они имеют хорошо разработанную теорию, которая находит приложение в различных областях математики.
При изучении теории гладких многообразий естественно возникают бесконечномерные алгебры Ли векторных полей.
Бесконечномерные алгебры Ли оказались полезным инструментом при построении примеров групп. Например, Ю. П. Размыслов использовал бесконечномерные алгебры Ли при построении примера группы, удовлетворяющей тождеству хр = 1, где р > 5 - простое, которая не является разрешимой [27]. Бесконечномерные алгебры Ли широко использовались в работах А. И. Кострикина по проблеме Бернсайда [16].

[22] Михалёв A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал П-групп и ГИ-групп // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 4. С. 1405-1413.
[23] Парфенов В.А. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли // Сиб. мат. журнал. 1971. Т. 12. № 1. С. 171-176.
[24] Пихтильков С.А. О специальных алгебрах Ли // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36. № 6. С. 225-226.
[25] Пихтильков С.А. Артиновые специальные алгебры Ли // В мв. сб. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2001. С. 189-194.
[26] Пихтильков С.А. Структурная теория специальных алгебр Ли. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2005.
[27] Размыслов Ю. П. Об энгелевых алгебрах Ли // Алгебра и логика. 1971. Т. 10. №10. С. 33-44.
[28] Размыслов Ю.П. О радикале Джекобсона в PJ-алгебрах // Алгебра и логика. 1974. Т. 13. № 3. С. 337-360.
[29] Щукин К.И. 7?/*-разрешимый радикал групп // Мат. сборник. 1960. Т. 52. № 4. С. 1024-1031.
[30] Amayo R., Stewart I. Infinite dimensional Lie algebras. Leyden: Noordhoof, 1974.
[31] Amitsur S.A. Radicals of polynomials rings // Canad. J. of Math. 1956. V. 8. P. 355-361.
[32] Buys A., Gerber G. K. The prime radical for П-groups // Commun. Algebra. 1982. V. 10. P. 1089-1099.