Алгебраическая теория биформ

• Автор: Фирдман, Илья Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 140 с.

1 Алгебраическая классификация физических структур большого ранга
1.1 Некоторые факты из теории билинейных форм
1.2 Аксиоматика и формулировка теорем
1.2.1 Базовая система аксиом
1.2.2 Следствия базовых аксиом
1.2.3 Формулировка теорем
1.3 Доказательство теорем
1.3.1 Предварительные леммы
1.3.2 В М есть нуль, в N есть нуль. Доказательство теоремы 1
1.3.3 В М есть нуль, в N нет нуля
1.3.4 В М нет нуля, в Л/" нет нуля
2 Тополого-алгебраическая классификация физических структур больших рангов
2.1 Предварительные сведения из топологической алгебры
2.2 Аксиоматика и формулировки теорем
2.3 Простейшие следствия аксиом и сведение к алгебраическому
случаю
2.4 Вид функции Г

2.5 Топологизация

3 Структуры ранга (п + 1,2)
3.1 Классификационные результаты для п-транзитивных непрерывных групп преобразований
3.2 Аксиоматика физической структуры ранга (п + 1.2) и формулировка классификационной теоремы
3.3 Предварительные леммы
3.4 Групповая структура на II
3.5 Классификация
3.5.1 п
3.5.2 п
Приложение 1. Канонические примеры непрерывных физических структур
Приложение 2. Топологические свойства множества обратимых матриц над телом
Список литературы
Работы автора по теме диссертации

Данная работа посвящена алгебраическим аспектам и приложениям принципа феноменологической симметрии. Дадим сначала его общее описание.
Первоначально понятие феноменологической симметрии было введено в 1960-х годах Ю. И. Кулаковым [7]—[10] как основная идея его теории физических структур. Общее содержание этого понятия можно выразить следующим образом. Пусть даны множества Лф N, Л произвольной природы, связанные отображением (,) : Мх Л/" —> Л (репрезентатором,, или, как мы будем его называть, биформой), описывающим взаимодействие элементов множеств М, Я. Задаются, кроме того, два натуральных числа т и п — позднее будет видно, что они описывают размерность (в некотором смысле) множеств М. и А/” над Л. Введем два интуитивных понятия, которые будут конкретизироваться в зависимости от дополнительной структуры, определенной на множествах М, Я, Л, и постановки интересующей нас задачи. Это понятие полного подмножества (для топологических пространств речь может идти о всюду плотных подмножествах, для пространств матриц над телом — о множестве всех необратимых матриц, и т. п.; может требоваться и точное совпадение полного подмножества со всем множеством) и зависимого подмножества (например, нигде не плотного, для топологических пространств, или, для пространств вида Як с произвольной структурой Л, подмножества, являющегося графиком некоторой функции Л*-1 —> Л).
Для упорядоченных наборов элементов I = (гь ...,4) 6 Мк, 21 = («1 а{) е Я1 обозначим через (/, 21) матрицу размера к х /, составленную из всевозможных элементов вида (гр, а9), р = 1 к, д = 1 /.

Рассмотрим теперь такую (существующую, согласно предложению!..20) функцию ip' 6 Ujf, что <р(а, О) = е, <р(0,О) — О. Обозначим р(е, О) = У. тогда, по предложению 1.20, ц> — (рь, и а ■ У = ip(a, О) = е. Равенство b = У и единственность обратного элемента следуют теперь из ранее доказанных ассоциативности и свойства единицы.
Покажем, что для любых a,b £ R выполняется а + b = b + а. Пусть т : R2 —> R2 — перестановка координат. Согласно лемме 1.3, /' = f от & Uj^. При этом f(e,0) = /(О, е) = е, f{0,e) = е, /'(0,0) = О. Тогда в силу предложения 1.24 /' = /. При этом 6 +а = /(6, а) = /'(а,6), и потому 6 + а = а + Ь,
Покажем, что для всех а G .R верно а + О = а. Обозначим /' = О?(/) G Тогда /'(е) = е, /'(О) = О, и /' является тождественной функцией. Теперь а + О = /(а, О) = /'(а) = а.
Покажем, что для любых а, Ь, с G Я выполняется (а + Ь) + с = а+(Ь + с). Мы можем далее считать а отличным от О — в противном случае сразу получаем из уже доказанного (О + Ь) + с = b + с = О + (Ь + с). Пусть (5 Е N таково, что (zi,j3) = а, (гг,/?) = с. Рассмотрим функцию ^ G UXM, такую, что<р(а) = Ъ, <р(0) = О. Обозначим j — V(2l)[p] £ [z\. Тогда (j,(3) = Ч>({*ь/З)) = b, 0>0) = ) = O. Наконец, пусть ц = V(juZ2)[f, г2 = V{zuj2)[f]. Тогда (ii,a>0) = (г2,щ) = О,
{h,P) - (a + b) + с, (i2,P) ~a + (b + c). (1.3.3)
Отметим, ЧТО в силу леммы 1.4 и построения все элементы j, jl, j2, Ч, г2 лежат в [21,22]. Рассмотрим элементы (£1,62) = £ G М2 с дуальными координатами (е, О, ...,0), (О, е, О,... ,0), соответственно. Обозначим ((/,£)) = (х,у). По построению, (ih£i) = f((ji,ei),(z2,ei)) = f{f((zi,Zi),{j,£i))Az2,£i}) = f{f{e,x),0) = f(e,x). Аналогично получаем (iue2) = /(/(0,у),е) = f(y,e), (i2,ei) = f(e,f(x,0)) = f(e,x), (h, £2) = /(O,/(y, e)) = f(y,e). Таким образом, (ii,£) = (г2,£). Обозна-