Автоморфизмы, эндоморфизмы и элементарная эквивалентность полугрупп неотрицательных матриц

• Автор: Семенов, Павел Павлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление

1 Автоморфизмы Сп над ч. у. коммутативными кольцами

1.1 Необходимые определения и понятия, формулировка основной

теоремы

1.2 Построение автоморфизма Ф'

1.3 Действие автоморфизма Ф' на диагональных матрицах

1.4 Основная теорема

2 Элементарная эквивалентность

2.1 Введение

2.2 Необходимые определения и понятия, формулировка основной

теоремы
2.3 Некоторые вспомогательные формулы, определение размерности
2.4 Основная теорема
3 Автоморфизмы полугрупп С1п(Ж)
3.1 Введение
3.2 Совпадение полугрупп СЕ+) и Сп[Ъ)
3.3 Автоморфизмы полугруппы С?г(2)
3.4 Сопряжение матрицами подстановок
3.5 Автоморфизмы полугруппы Оп{Ъ) при п
3.6 Автоморфизмы полугруппы (Зп(2) при п
4 Эндоморфизмы полугрупп неотрицательных матриц
4.1 Действие эндоморфизма на матрицах подстановок
4.2 Получение эндоморфизма полукольца неотрицательных элементов
4.3 Основная теорема

Введение
Работа посвящена автоморфизмам, эндоморфизмам и элементарной эквивалентности полугрупп неотрицательных матриц над кольцами с различными типами упорядочения.
Исторический обзор
Автоморфизмы и изоморфизмы матричных групп и полугрупп
Матричные группы — традиционный объект исследования математиков. Различные вопросы, связанные с их структурой, изучались К. Жорданом, Л. Диксоном, Б. ван дер Варденом, Г. Вейлем, Ж.Дьедонне, Ж.Титсом и их многочисленными последователями в огромном количестве работ. Ко второй половине XX века сложилось несколько крупных направлений исследования линейных групп, среди которых изучение нормальных подгрупп, описание линейных групп с помощью образующих и определяющих соотношений, описание подгрупп, порожденных некоторыми специальными элементами, а также описание автоморфизмов и изоморфизмов между линейными группами. Изучение автоморфизмов классических групп началось работой Шрайера и Ван-дер-Вардена [1] 1928 г., в которой были описаны автоморфизмы группы РЭЬп (п 3) над произвольным полем. Затем Дьедонне [2] в 1951 г. и Рикарт [3] в 1950 г. ввели метод инволюций, с помощью которого были описаны автоморфизмы группы СБ„ (п 3) над телом. Автоморфизмы линейных групп над кольцами были описаны Хуа Логеном и Райнером [4] в 1951 г. (СБП (п 3) над кольцом целых чисел), Лэндином и Райнером [5] в 1957 г., а также Вань Чжесянем [6] (некоммутативные области главных идеалов), О’Мирой [7] в 1976 г. (области целостности). Также результаты по автоморфизмам и изоморфизмам линейных групп над различными ти-
пами колец получали Помфрэ и Макдональд [8] (1972 г.), Г.А. Носков [9] и
В.Я. Блошицын [10] (1975 г.), B.C. Дроботенко и Э.Я. Погориляк [11] (1977 г.), Макдональд [12] (1978 г.), Уотерхауз [13] (1980 г.), В.М.Петечук [14], [15], [16] (1980-1982 гг.) Одними из самых больших результатов в теории автоморфизмов и изоморфизмов матричных групп были их описания для некоммутативных колец. Именно, в 1980-х годах в работе [17] И.3. Голубчиком и A.B. Михалевым было дано описание изоморфизмов групп GLn(A) и GLm(5) над ассоциативными кольцами R. и S с i при п,т 3, и несколько иным способом в работе Е.И. Зельманова [18]. Затем, в 1997 году И.З. Голубчиком [19] описание изоморфизмов между общими линейными группами было продолжено на случай произвольных ассоциативных колец и п, т 4. Параллельно с описаниями автоморфизмов и изоморфизмов общих линейных групп и их стандартных подгрупп рассматривалась структура полугрупп неотрицательных обратимых матриц над различными типами упорядоченных колец. В 1970 г. A.B. Михалевым и М.А. Шаталовой [20] были описаны изоморфизмы и антиизоморфизмы полугрупп неотрицательных обратимых матриц над линейно упорядоченными телами. В 2003 г. эта теория была продолжена Е.И. Буниной и A.B. Михалевым [21], которые описали все изоморфизмы и автоморфизмы полугруппы неотрицательных матриц (размера п 3) над произвольными линейно упорядоченными кольцами с обратимой двойкой. В данной диссертации описание автоморфизмов и изоморфизмов полугрупп неотрицательных обратимых матриц распространено на коммутативные частично упорядоченные кольца с некоторым обратимым натуральным числом, а также на кольцо целых чисел (результаты опубликованы в работах [22] и [23]). Более того, для коммутативных линейно упорядоченных колец с 1/2 описаны [60] не только автоморфизмы, но и все эндоморфизмы рассматриваемых полугрупп.
Для полугруппы G2{R) верны не все результаты, доказанные в данной диссертации для п > 2. Если кольцо R — частично упорядоченное коммутативное (или не содержит делителей нуля), в нем обратим какой-то натуральный элемент п и конус положительных элементов порождается обратимыми положительными элементами кольца, то верно, что все автоморизмы полугруппы (?2(й) стандартны (Е.И. Бунина, Л.В. Тупикина[62]).
Глава 1. АВТОМОРФИЗМЫ Сц НАД Ч. У. КОММУТАТИВНЫМИ КОЛЬЦАМИ
4) если диагональная матрица коммутирует с £(р>р+1), то она коммутирует и с любой другой матрицей, удовлетворяющей свойствам 1-3.
Так как любая матрица, которая скалярна в каждом блоке О}, коммутирует с £а>, г = 1
например, с матрицей diag [Е2ч, 2 Е2к2
Ях = сНа§ [1,1,2,2,4,4
Я2 = (Иав [1,2,1, 2,4,8,4,8
Я3 = сИа§ [1,2,4,8,1,2,4,8
Нкг = с1кё [1,2
Каждая матрица Н2 коммутирует с соответствующей матрицей , поэтому (условие 3) матрица А(Р)Р+ц должна коммутировать со всеми Н2, j

(с с) ’ Гак как Ар>р+Р коммутирует с 5, то а = с?, Ь = с. Так как Л(Р1Р+1)
имеет порядок 2, то а2 + Ь2 = 1, аЬ — 0.
Воспользуемся теперь условием 4.
Рассмотрим диагональную матрицу Я, единичную во всех блоках О;, кроме рассматриваемого, а в рассматриваемом блоке размера 2x2 имеющую вид diag [1, а2/2 + Ь2}. Тогда
1 а 1 Ъ (®2/2 + Ь2) Ь
{а2/2 + Ъ2) Ь (а2/2 + 62) а/ 11-6 (а2/2 + Ь2)-а
так как аЬ = 0, то есть Я и А(рф+) коммутируют. Значит, Я должна коммутировать с любой другой матрицей, удовлетворяющей условиям 1-3, в том числе с Ар,р+1)- А это означает, что а2/2 + Ъ2 = 1, т. е. а2 = 0. Следовательно, а = 0 (так как из а2 + Ь2 = 1 и аЬ — 0 следует а3 = а). Таким образом, обязательно А(м>+1) = (р,р+1), гДе Я е 2.