κ-вполне транзитивные абелевы группы без кручения

• Автор: Рогозинский, Михаил Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 80 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Вполне транзитивность и А;-вполне транзитивность групп без кручения

§1. Предварительные сведения

§2. А-длина и к -вполне транзитивность групп без кручения .

§3. А;-вполне транзитивность прямых сумм групп без кручения

2 А;-вполне транзитивные вполне разложимые группы без кручения

§4. Вполне разложимые А;-вполне транзитивные группы

§5. А;-вполне транзитивность вполне разложимых групп без

кручения при различных значениях к

3 А;-вполне транзитивность однородно разложимых и однородно сепарабельных групп без кручения
§6. А;-вполне транзитивность однородно разложимых групп
без кручения
§7. А;-вполне транзитивность групп без кручения для всех натуральных к
Литература

Список обозначений
В данной работе под словом «группа» будем подразумевать абелеву группу. Обозначать группы будем большими латинскими буквами А, В,
Следующими символами будут обозначаться:
N - множество натуральных чисел;
Р - множество всех простых чисел, расположенных в порядке возрастания;
- полная рациональная группа;
Ъ группа целых чисел;
Нот(А, В) - группа гомоморфизмов группы А в группу В;
Е(А) - кольцо эндоморфизмов группы А;
А / В - факторгруппа группы А по подгруппе В;
0 - прямая сумма;
I"! - прямое произведение;

(аі, ... , ап) - подгруппа, порожденная элементами оі, ... , ап;
(аі, ... , ап )* - сервантная подгруппа, порожденная элементами , ... , ап ?
2(р°°) - квазициклическая р-группа (группа типа р00);
- подгруппа группы <0>, состоящая из дробей со знаменателями, равными степеням простого числа р;
Чподгруппа группы (Ц), состоящая из дробей со знаменателями, взаимно простыми с простым числом р; о(а) - порядок элемента а;
/ір(а) - р-высота элемента а;
Хл{а), х(а) ~ характеристика элемента а группы А;
^(а), 1(а) - тип элемента а группы А; г {А) - ранг группы А;
Пі для прямой суммы групп ф Ф — проекция на прямое слагаемое

1(а) - для элемента а из прямой суммы групп ф Є і — множество

индексов і Є 3, таких что тгДа) ф 0;
ф - однородная группа без кручения типа 1, то есть группа без кручения, все ненулевые элементы которой имеют тип і .
/т(а) — для элемента а однородно разложимой группы О = ф ф — множество типов ї Є Т, таких что яг(а) ф 0.

Укажем теперь значение 1 -длины для однородно разложимых групп, удовлетворяющих условию контрастности для типов.
Теорема 2.4. Пусть б = 0 (Д — однородно разложимая реду-

цированная группа. Если (7 удовлетворяет условию контрастности

для типов, то АДС) = С„ , если |Т| = п и АД (7) — ос, если |Т| > Нд.
Доказательство. Заметим, что для 1-независимости кортежа X = необходимо, чтобы множества 1т(х*) образовывали се-
мейство Шпернера для множества Т. Действительно, если для некоторых различных Х{, Xj выполнено 1т{х{) С 1т{х3), то 1 (ж*) > t(Xj) .
По теореме Шпернера, максимальная мощность семейства Шпернера

в случае Т = п равна к = Сп ■ Таким образом, существует семейство конечных множеств {Д; Д С Т}*=, образующее семейство Шпернера.
Рассмотрим кортеж X = (х,...,хи), где /т(т,) = Тг (г = 1 ,к). Из предложения 2.3 следует, что кортеж X является Ь -независимым. Из теоремы Шпернера следует также, что семейства Шпернера большей мощности для множества Т не существует, следовательно, не существует 1 - независимого кортежа, состоящего более чем из к элементов.
Если же Т > Ко, то для всякого & £ N в качестве 1-независимого кортежа длины к можно взять X = (д....