Предельные теоремы для нелинейных функций от слабо зависимых случайных полей

• Автор: Демичев, Вадим Петрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Ковариационные и моментные оценки для слабо зависимых случайных полей

1.1 Ассоциированность случайных полей и родственные понятия

1.2 Оптимальная оценка ковариаций индикаторных функций от по-

ложительно или отрицательно ассоциированных случайных величин

1.3 ЦПТ для эмпирических функций распределения

1.4 Моментная оценка для сумм (ВЬ, 0)-зависимых случайных величин

1.5 ФЦПТ для (ВЬ, (9)-зависимых случайных величин

Глава 2. Предельные теоремы для объемов экскурсионных множеств случайных полей

2.1 ЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных
случайных полей
2.2 ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств ассоциированных
случайных полей
2.3 ФЦПТ для объемов экскурсионных множеств квази-
ассоциированных случайных полей
Глава 3. Предельные теоремы для функций от случайных мер
3.1 Обобщение ЦПТ Эванса для интегралов по случайным мерам
3.2 ФЦПТ для интегралов по случайным мерам
3.3 ФЦПТ для параболически преобразованных решений уравнения
Бюргерса
3.4 ФПТ для решений уравнения Бюргерса. соответствующих начальным потенциалам, задаваемым полями дробового шума
3.5 Предельная теорема для макс-обобщенных процессов Кокса

Заключение
Список литературы

Введение
Исследование разнообразных функций от случайных полей играет важную роль в современной теории вероятностей. При этом многие теоретические проблемы и прикладные задачи требуют рассмотрения нелинейных функций, что часто сопряжено со значительными трудностями. Примером таких функций могут служить индикаторы, возникающие при изучении эмпирических распределений, разнообразных непараметрических статистик, а также экскурсионных множеств. Настоящая диссертационная работа посвящена разработке техники получения предельных закономерностей для нелинейных функций от слабо зависимых случайных полей. Установленные результаты применяются к обобщению ряда известных теорем теории вероятностей и случайных процессов.
Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 102 наименования. Во введении дается краткий обзор содержания диссертации и проводится сопоставление полученных результатов с предшествующими. При этом точные формулировки доказанных утверждений отнесены в основную часть работы, а во введении указываются номера соответствующих результатов и формул.
Начиная с 80-х годов прошлого века активно исследуются случайные поля, обладающие свойством ассоциированности или каким-либо родственным типом зависимости. Интерес к ним обусловлен с одной стороны простотой проверки этого свойства для широкого класса случайных объектов, а с другой — наличием развитой техники получения предельных теорем для таких полей. В этой связи укажем на монографию А. В. Булинского и А. П. Шашкина [10]. Ассоциированность позволяет устанавливать множество предельных закономерностей при наложении ограничений исключительно на моменты рассматриваемого поля и на его ковариационную функцию. Так, например, согласно теореме Ньюмена [82] строго стационарное ассоциированное случайное поле £ = {Од к ^ } € 1-2 удовлетворяет центральной предельной теореме (ЦПТ),
если выполнено условие конечной восприимчивости (1.6), т.е. его ковариацион-

Если Ві = (аі,Ь^] х ... х (ad, Ь^] и B2 = [ai,b{2)] х ... х (ad,b{p] — два блока из Bd, причем b^ bf г = 1,d, будем писать Вг < В2.
Пусть Ud С Bd — подмножество блоков, вершины которых имеют целочисленные координаты. Нами установлена
Теорема 1.4.1. Пусть X = {Xк Є — некоторое центрированное (ВL, в)-зависимое случайное поле с вх(г) ^ Сг~х, г Є N, где С, А > 0. Предположим, что найдется 2 < s ^ оо, для которого справедливо соотношение
Ms = sup \Xk\s < ОО. (1.26)

Тогда для любого блока U Є Ud, и всехр Є (2, s) и и > 0 выполнено неравенство

^K(U1+umaxEXkJ, + Uyc(s-p)/{s-2)Mfp-2)/is-24Up/2Qp/2{X)). (1.27)
у fcet/ /
Здесъ К — K(d, s,p,v, А) > 0, 7 = max{(s(p — 1) — р — A(s — p)/d)/(s — 2), ІЧ-м},

Q(X) = sup -j—E ( J2Xk
|С/| кеи /
Подобные моментные оценки играют ключевую роль при доказательстве принципов инвариантности для случайных полей (см., напр., [10], гл. 5). Данный результат обобщает неравенство из [94]. В работе [5] показано, что оценка (1.27) является в определенном смысле оптимальной. Кроме того, в [5] получена схожая оценка для ассоциированных случайных полей, но в несколько более общей постановке задачи. Отметим, что метод доказательства, примененный в [5], не допускает непосредственного обобщения на случай (ВЬ, 0)-зависимых полей, поскольку существенно опирается на неравенство сои (X, И (У)) ^ Ыр(В)сои(Х, У), справедливое для ассоциированных квадратично-интегрируемых случайных величин X и У, но, вообще говоря, неверное, если заменить требование ассоциированности условием (ВЬ, б)-зависимости.