Геометрия и топология гиперболических аттракторов диффеоморфизмов

• Автор: Плыкин, Ромен Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 261 c. : ил

Введение #

Глава I. Гиперболические аттракторы диффеоморфизмов и обобщенные соленоиды

§ I. Некоторые результаты теории дифференцируемых динамических систем

§ 2. Обобщенные соленоиды и представление растягивающихся аттракторов в форме соленоидов

Глава 2. Гиперболические аттракторы коразмерности I

§ I. Предварительные сведения и формулировки теорем

§ 2. Доказательство теоремы 2.1

§ 3. Доказательство теоремы 2

§ 4. Теорема об инвариантных слоениях

§ 5. Доказательство теоремы 2

§ 6. Доказательства теорем 2.4 ,2

§ 7. Доказательство теоремы 2
§ 8. Доказательство теоремы 2.7
§ 9. Бесконечность фундаментальной группы многообразия размерности большей двух,допускающего диффеоморфизм с растягивающимся аттрактором /сжимающимся репеллером/ коразмерности I
Глава 3. Гиперболические аттракторы диффеоморфизмов поверхностей
и геометрия А -диффеоморфизмов
§ I, Гиперболические аттракторы диффеоморфизмов
§ 2. Число и расположение гиперболических аттракторов и репеллеров А -диффеоморфизмов поверхностей отличных от сферы
§ 3. Асимптотические свойства аттракторов и топологическая сопряженность диффеоморфизмов поверхностей на одномерных базисных множествах
Литература

Теория гладких динамических систем на многообразиях, естественность которой впервые была продемонстрирована трудами А.Пуанкаре ЦП , явилась по существу синтезом геометро-топологичес-ких и аналитических методов исследования временной эволюции процессов природы.
Х.Кнезер, в одной из своих работ [ Jf , переводящий траектории в траектории
Понятие эквивалентности потоков вместе со своим аналогом-тополо-гической сопряженностью для каскадов-систем с дискретным временем (каскады f -М-*М - топологически сопряжены, если существует гомеоморфизм к-.МИЛ для которого выполнено тождество k-f - К. ) играет фундаментальную роль в современных исследованиях.
Следует заметить, что цикл исследований динамических систем
на торе, был отмечен в 1932 году открытием нового геометрического
феномена-континуума А.Данжуа , который может появляться в

О потоках на торе в качестве минимального множества. Минимальное множество А.Данжуа имеет локальную топологическую структуру произведения канторова дисконтинуума на отрезок.
"Гиперболическое" направление современной теории гладких динамических систем берет свое начало с исследования Ж.Адамаром геодезического потока на поверхности отрицательной кривизны [^*3 1 и в исследовании грубых (структурно устойчивых) систем, введенных впервые A.A.Андроновым и Л.С.Понтрягиньтм в работе (6] 1937 года. Структурная устойчивость гладкого потока (каскада) может быть определена как эквивалентность ( топологическая сопряженность )
/о 4.
всех систем, находящихся в достаточно малой -окрестности
исходного потока (каскада). Структурно устойчивые потоки на поверхностях и каскады на окружностях образуют плотное множество в пространстве потоков на поверхности ( и каскадов на окружности ) в С топологии и не могут обладать бесконечным множеством периодических траекторий ( [6] ,[13] ,[96-] ). Однако, как показал феномен подковы С.Смейла ( [56] ,[57] ) устойчивого структурно каскада двумерной сферы, обладающего счетным множеством периодических траекторий, для больших размерностей структурно устойчивые системы могуф обладать бесконечным набором гиперболических периодических траекторий. В дальнейшем С.Смейл доказал, что в больших размерностях (начиная с трех для потоков и двух для каскадов) структурно устойчивые системы плотны во множестве гладких
систем, снабженном -топологией, и не обязательно плотны в
этом же множестве, снабженном £ -топологией ( [59] ,[ЗЯ ).
Почти одновременно с работами С.Смейла появились исследования Д.В.Аносова ( [7] , № , [9] ) введенных им "У -систем (или аносовских систем согласно устоявшейся в настоящее время терминологии) , отличительной чертой которых является наличие гиперболической структуры: касательное расслоение фазового пространства У" -каскада, раскладывается в непрерывную сумму Уитни растягивающегося и сжимающегося подрасслоений (в случае У -потоков в сумму входит еще одномерное поле направлений, касательных к траекториям потока).
Д.В.Аносов доказал структурную устойчивость У -систем, несмотря на весьма запутанное поведение их траекторий и наличие обширных классов ( включающих У' каскады и геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны) со счетным множеством периодических траекторий.

^ У — к. ( <Г ) • Р да всех ^ Г Ж)-
Действительно, пусть Р - [ и1Х'^=^-ТС ,где / : р]
непрерывное отображение.Если Г€Г(М)*то [-к = у.тг-^= ~Т1-рУ .откуда следует,что Р - У" другое накрывающее £
отображение и поэтому Р- г= к(<Г)-Р .Покажем,что к. : Г(М)- Г(М) эндоморфизм. Согласно определению и?) ДЛЯ любых } € Г С м) еет место р*
с другой стороны ( Р. ^ ^ ~ . р . П - р (^) р.
Вследствие однозначности ксл имеем к (П -Гг) = Ш) к(Гг) откуда все и следует.Обратно,пусть даны отображения V ■ и -» Я и к : Г(И)-ГСМ) такие,что имеет место к(гг)Р
для любого 6 ГСМ) »докажем,что существует такое непрерывное отображение £ ; ,для которого • Р — £ • 1ь ,
Пусть Осе М , X в И"1 ос »тогда р (X ) в Ш"1 С з ^ - ТС Р (Ос) (так как для любого ОСд е ТС-1 Ос найдется У С Г С/Ч ) такое,что У Ос — Ос^ и поэтому Тс-— ТС к ( Т') р (Ос) = ТГ Р (Зс) .Но тогда отображение Р : М-В. индуцирует непрерывное отображение в себя многообразия Я = Я | ГСМ) .причем ТС- р - ^-ТТ^ что и требовалось.
Если теперь £ М — М гомеоморфизм,а [ : М- М накрывающий гомеоморфизм,то нетрудно проверить,что ( У элемент группы Г (М) и отображение ГСМ)-»ГСМ)
П?Л А
есть автоморфизм.Заметим,что если г=Г-* другой накрывающий гомеоморфизм,-:то ( У) - Уд • С?) Уф1
где С^СП-Гг гг - гу1 внутренний автоморфизм группы ["((Ч). Предположим теперь,что универсальное накрывающее многообразие р| может быть снабжено римановой метрикой со свойством единственности геодезической,соединяющей различные точки я / это предположение выполнено,если Р] обладает метрикой постоянной