Геометрические задачи упаковок сфер и смежные проблемы

• Автор: Мусин, Олег Рустумович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Используемые обозначения

Введение

0.1. Контактные числа

0.2. Метод Дельсарта для контактных чисел

0.3. Односторонние контактные числа

0.4. Множества с двумя расстояниями

0.5. Содержание работы

ГЛАВА 1. Проблема контактных чисел в размерности 4

1.1. Основные теоремы
1.2. Метод Дельсарта для сферических кодов
1.2.1. Теорема Шёнберга
1.2.2. Многочлены Гегенбауэра
1.2.3. Неравенство Дельсарта
1.2.4. Доказательство Леммы А
1.2.5. Граница Дельсарта
1.3. Обобщение метода Дельсарта
1.3.1. Обобщенная граница Дельсарта
1.3.2. Класс функций Ф(Ц,г)
1.3.3. Выпуклость
1.3.4. Границы для р
1.3.5. Оптимизационная проблема
1.4. Алгоритм вычисления подходящих многочленов
1.5. Оптимальные и неприводимые множества
1.5.1. Условие монотонности и оптимальные множества

1.5.2. Неприводимые множества
1.5.3. Неприводимые множества на §
1.5.4. Вращения и неприводимые множества в размерности п
1.5.5. Неприводимые множества на сфере §
1.5.6. Оптимизационная задача
1.6. Вычисление кт
1.6.1. Случай т =
1.6.2. Функция 0^
1.6.3. Экстремальные точки функции ©& на И
1.6.4. Верхние границы для Нт
1.6.5. Верхние границы для кт
1.7. Доказательство Леммы А
1.8. Проблема тринадцати шаров
ГЛАВА 2. Проблема односторонних контактных чисел в размерности 4 и коды в сферических шапочках.
2.1. Одностороннее контактное число в размерности
2.2. Оптимальные расположения для В(п)
2.3. Обобщение метода Дельсарта для кодов на полусфере
2.4. В(4)=
2.5. О соотношениях между /с(гг) и В(п)
2.6. Коды в сферических шапочках
ГЛАВА 3. Сферические множества с двумя расстояниями.
3.1. Множества с двумя расстояниями
3.2. Максимальные множества с двумя расстояниями для п ^ 3..
3.3. Максимальные множества с двумя расстояниями в пространствах
размерности 4, 5, 6, 7, и
3.4. Граница для сферических множеств с двумя расстояниями
3.5. Метод Дельсарта для множеств с двумя расстояниями

3.6. Границы $ьа)
3.7. Максимальные сферические множества с двумя расстояниями.
3.8. Максимальные сферические множества с тремя расстояниями
. . 97
Список использованных источников

оптимальные конфигурации точек и величины <рз(М) в настоящий момент известны для всех М ^ 13 и М — 24 (см. [20,43,49,62]). Шютте и ван дер Варден [49] доказали что
(г) Since z — tl < 0, Следствие 1.1 влечет: ц(4, z, /) < А(3, ), где > 90°. Мы получили, > (гг) Заметим, что to ^ 0.6058,
1 /2 /
arccos гг- > 77.87°.

Тогда по Следствию 1.1 получим /г(4,1/2, /) ^ Л(3,77.87°). Так как 77.87° > ¥>3(7), то Л(3,77.87°) < 7, т. е. ц ^ 6. □
1.3.5. Оптимизационная проблема. Пусть
z — t
to := cos0о, ^ := cosф, cos := /г* := А(п — 1, ).

Для заданных п, -ф, до, / G Ф(to, г), во G S"-1, и т ^ ц*, величина hm(n, z, f) является решением следующей оптимизационной проблемы на Sn_1:
/(1) + /(-е0 • ух) + . •. + /(-е0 • ут) =>- max
при ограничениях
Уг Е S”-1, г = 1, . . . , 771, dist(e0, Уг) ^ 0О, dist(j/j, %) ^ ф, I ф J.
Размерность этой задачи равна (тг — 1)т ^ (п — 1)ц*. Если ц* - достаточно маленькое, то для маленьких п вычисление hm будет относительно малоразмерной оптимизационной проблемой. Если дополнительно /(f) является монотонно убывающей функцией на отрезке [—1, —to], то в некоторых случаях задача может быть сведена к задаче размерности (гг — 1) и тогда она может быть решена численно.