Наросты расширений локально бикомпактных пространств и отображений. Теоремы о гомеоморфизме пространств и отображений

• Автор: Белянова, Эльвира Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 91 с.

Часть 1. ОПИСАНИЕ НАРОСТОВ БИКОМПАКТИФИКАЦИЙ ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫХ ХАУСДОРФОВЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ПРОСТРАНСТВ
§ 1. Первое описание наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова отображения (приложение

отображений)

§ 2. Описание наростов бикомпактификаций локально

бикомпактного хаусдорфова пространства

§3. Второе описание наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова отображения (обобщение теоремы М1)

Часть 2. ТЕОРЕМЫ О ГОМЕОМОРФИЗМЕ ПРОСТРАНСТВ И

ОТОБРАЖЕНИЙ

§ 4. Обобщения теорем Магилла и Рейборна для случая

пространств

§ 5. Теоремы о гомеоморфизме отображений

§ 6. Теоремы о к - гомеоморфизме наростов бикомпактификаций
отображений
§ 7. Теоремы Магилла и Рейборна для отображений
Список литературы

Ниже, пространство будем понимать как топологическое пространство, непрерывное отображение - как непрерывное отображение пространств, бикомпактификацию - как (если не оговорено иное) хаусдорфову биком-пактификацию пространства или отображения.
Диссертация, главным образом, посвящена наростам бикомпактификаций локально бикомпактных пространств и локально бикомпактных отображений. Она отталкивается от двух известных (полученных в 1966 и 1968 годах) теорем Магилла (K. D. Magill), описывающих, во-первых, наросты всех бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства при помощи его стоун-чеховского нароста и, во-вторых, стоун-чеховский нарост локально бикомпактного хаусдорфова пространства при помощи всех бикомпактификаций этого пространства. Различные обобщения этих теорем можно видеть в работах [2], [5], [6], [9], [13].
Локально бикомпактные хаусдорфовы пространства характеризуются тем, что они открыты в любой своей бикомпактификации. Значит, наростом бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова пространства является бикомпакт. Решая вопрос, когда данный бикомпакт является наростом бикомпактификации данного локально бикомпактного хаусдорфова пространства. К. Д. Магилл в 1966 году [1] доказал следующую теорему, дающую описание всех наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства.
Теорема М1. Бикомпакт R является наростом некоторой бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова пространства X тогда и только тогда, когда R есть непрерывный образ стоун-чеховского нароста ßX X.

В части 1 диссертации получено иное описание всех наростов бикомпактификаций локально бикомпактного хаусдорфова пространства (см. ниже теорему 2.1), использующее, вводимое ниже, понятие приложения локально бикомпактного пространства к бикомпакту, лежащему в некотором хаусдорфовом пространстве.
Определение 2.1. Подмножество и пространства X называется ограниченным в нём, если [[/] х есть бикомпакт.
Пусть X есть локально бикомпактное хаусдорфово пространство, 2-хаусдорфово пространство, и бикомпакт Я содержится в пространстве 2.
Определение 2.2. Непрерывное отображение Л:X ^> 2 называется приложением пространства Xк бикомпакту Я в пространстве 2, если:
1 )Яа[Л(Хи)]2 для любого открытого и ограниченного в ^множества I/;
2) для любой окрестности Ж бикомпакта Я в пространстве 2 существует ограниченное вX множество и такое, что Л(Хи)^Ж.
Если, дополнительно:
3) Л(Х)пЯ = 0,
то отображение Л называется точным приложением пространства X к бикомпакту Я в пространстве 2.
Теорема 2.1. Для бикомпакта Я и локально бикомпакного хаусдорфова пространства X следующие условия эквивалентны'.
1) бикомпакт Я является наростом некоторой бикомпактификации пространства X;
2) существует приложение пространства X к бикомпакту Я в некотором пространстве 2;
Перейдем к изложению результатов. Для пространства X положим P(X) = P(X){idx}, ~I(X) = I(X){idx}, конфинальную часть множества Р(Х)
будем обозначать cofP(X), и пусть ccf+P(X) = cof Р(X)u [idx}.
Рассмотрим два пространства Хх и Х2, фиксируем некоторую конфинальную часть cofP(X2)и множество ~1{Хх) для некоторого 1(Хх).
Утверждение 4.1. Если существует изоморфизм i:I(Хх) ->со/ Р(Х2), то i{D(Xi)) = D{X2) и /(5(Х,))с5(Х2).
Доказательство. Так как для любого отображения Яе£>(Х2) выполнено условие предложения 4.1 и idXl€P(X2), то D(X2)cco/?(X2) и, значит, i(D{Xl)) = D{X2).
Докажем, что /(5'(Х1))с5(Х2). Воспользуемся предложением 4.2,-характеризующим простые отображения.
Пусть Я; е5'(Х1), Х2 - /Я]. Надо доказать, что Я2 eS(X2). Пусть
a2,p2<=D(X2), <х2*р2 и т${а2,р2) >Я2. Тогда а2>Л2 и Р2>Л2. Отображения
а — j_1a2 и /3 =Г1р2 являются, по доказанному, дуальными. Так как ах> и Р>, то inf {а,Р} > ■ Поскольку Я1е5(Х1) и ах*рх, то, или пара {а,Рх) является 3-вершинником, или существует отображение yzD(Xx), связывающее пару {а,Р) такое, что у >h - Докажем следующее
Утверждение (*). Пусть ах/ е D{X), a2=iax и P2=ip. Пара (а,Р) является 3-вершинником тогда и только тогда, когда пара (а2,р2) является 3-вершинником.