Дифференциальная геометрия двупараметрических семейств двумерных плоскостей параболического типа пространства P5

• Автор: Пыжьянова, Альбина Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 136 с.

Глава 1. Параболические 2-семейства плоскостей в Р5
§1.1. Репер первого порядка параболического семейства
§1.2. Внутренняя корреляция на семействе (£2)2
§1.3. Основной фундаментальный объект семейства (Ь)2
§1.4. Геометрические свойства семейства {Ь)2
§1.5. Включение заданной 2-поверхности в семейство (^2)2
Глава II. Геометрия конфигурации Г
^ §2.1. Вмещение псевдофокального семейства прямых в конфигурацию Г
§2.2. Вмещение гиперболического семейства (Ь2)2 в конфигурацию Г
§2.3. Оптимальный репер
§2.4. Взаимосвязь между гиперболическими семействами
плоскостей конфигурации Г
§2.5. Канонический репер конфигурации Т7
§2.6. Полная конфигурация Г1
§2.7. Фокальная три-ткань конфигурации Т71
Глава III. Проективное изгибание семейств, определя-
# ющих конфигурацию Г
§3.1. Проективное изгибание первого порядка параболического семейства
§3.2. Проективное изгибание второго порядка параболического семейства

§3.3. Изгибание 1-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации Р
* §3.4. Изгибание 2-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации Р
§3.5. Изгибание пары параболических семейств конфигурации Р
§3.6. Изгибание конфигурации Р
§3.7. Изгибание 2-го порядка семейств (£2)2
§3.8. Особое решение изгибания 2-го порядка семейств
(^2)2
§3.9. Изгибание фокальных поверхностей семейства {Ь)2
Заключение
Литература

Данная работа относится к дифференциальной геометрии линейчатых многообразий многомерных проективных пространств. В настоящее время теория конгруэнций прямых и их пар трехмерного проективного пространства представляет классический раздел дифференциальной геометрии и достаточно полно изложена в монографиях С. П. Фи-никова [39, 40]. Одним из возможных направлений в обобщении этой теории является изучение геометрии г-параметрических семейств химерных плоскостей и их пар в проективном пространстве Рп. Такие семейства стали предметом научных исследований во второй половине XX века ([4, 13, 20, 25, 29, 30, 32] и другие).
Первые обобщения конфигурации Т и расслояемых пар конгруэнций С. П. Фшшкова были сделаны В. И. Коровиным [18], Р.М. Гейдель-маном [5], К. И. Дуничевым [11]. Ученики Р. М. Гейцельмана, например,
В. С. Фокин [41], М.А.Войтенко [2, 3] ввели обобщение этих понятии В Р4.
Заметив, что прямая в Р3 является двойственной сама себе, Г. Н. Макеев поставил задачу обобщения пар Т и расслояемых пар конгруэнций прямых в нечетномерных проективных пространствах. В связи с этим С.Е. Тычинина рассматривала двупараметрические семейства (Р2)2 плоскостей Р2 в Р5. Семейство (Т2)2 называется гиперболическим, слабопараболическим или параболическим, если каждая плоскость Р2 имеет три линейно независимых действительных фокуса, два фокуса или один фокус. Пары Т и расслояемые пары гиперболических семейств (Р2)2 были введены и исследованы С. Е.Тычининой [37, 36], а обобщение пар 0 Попова сделала Л. Ф. Степанова [33-35]. Эти результаты получили обобщение в пространстве Рщ- в работах Г. Н. Макеева [26-28]. Им введено понятие семейств Рп_1} которые являются обобщением семейств (Р2)2, и их преобразований Лапласа [25]. В. А. Елуздов изучал слабопараболическпе семейства (П2)2 и пх пары в Р5 [6-10].

Далее, если
Р = х1А + есть фокус плоскости (2.19а), то
(с£Р А N МА)
в некотором фокальном смещении. Отсюда следует система уравнений
— О,
шхх + бх4 = 0, (2.197)
ш^х3 + аи)хА = О,
которая определяет фокусы и их фокальные направления. Эта система имеет ненулевое решение, если
0 0 ші
0 и>3 аш
4 5 6 = ^1^2Ш3

Найдем фокус Р, соответствующий фокальному направлению иі = 0.
Тогда в силу (2.18) = 0 и из последнего уравнения системы (2.197)
получим х3 — 0. Система (2.197) сводится к одному уравнению
шх1 + = 0 (тойш4).
А так как, учитывая (2.17а, /3)
0 = ш - и> - и>4 = (7 — Ъ + Ь + 61 - а6)шз (тойа’і),

Рі — Мі — іА,
£1 — 7 — Ъ + Ъ + Ъ — «в,
есть фокус плоскости (2.19а) с фокальным направлением ш4 = 0. Аналогично, в силу подстановки (2.4) заключаем, что точки
Аз, АГ, Р3 = Мв — £3^3,