Геодезические и конциркулярные преобразования локально конформно квази-сасакиевых многообразий

• Автор: Полькина, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 80 с.

Глава 1. Почти контактные метрические многообразия
1.1 Почти контактные метрические структуры
1.2 Квази-сасакиевы (С^-) структуры
1.3 Локально конформно квази-сасакиевы (1с()8-) структуры
Глава 2. Контактно-геодезические преобразования некоторых классов АС-структур
2.1 Г еодезические преобразования
2.2 Об инвариантах геодезических преобразований
2.3 Контактно-геодезические преобразования
2.4 Контактно-геодезические преобразования (^-структур
2.5 Контактно-геодезические преобразования 1с()8-структур
Глава 3. Локально конциркулярно квази-сасакиевы многообразия
3.1 Локально конциркулярно квази-сасакиевы (1г()8-) структуры
3.2 ЬгС^Б-критерий
3.3 Тождества кривизны для 1г()8-многообразий
3.3 Критерий конциркулярной подвижности (^-многообразий
3.3.1 Критерий конциркулярной подвижности косимплектических многообразий
3.3.2 Критерий конциркулярной подвижности многообразий Сасаки
3.3.3 Критерий конциркулярной подвижности (^-многообразий
3.4 Ьг()8-многообразия постоянной кривизны
Литература
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению геодезических и копциркулярных преобразований локально конформно квази-еасакиевых структур на многообразиях.
Интересно отметить, что понятие преобразования встречается еще в трудах древнегреческого математика Аполлония Пергского. Именно, в работе ’’Конические сечения” он рассматривал инверсии, причем не только относительно окружности, но также эллипса, параболы и гиперболы. Тем самым истоки теории преобразований имеются в’’Конических сечениях” Аполлония [2]. Построение классической теории геодезических отображений, по существу, берет свое начало в середине 19 века в трудах итальянского геометра Э. Бельтрами [24], рассмотревшего отображение поверхности на плоскость при котором геодезические переходят в прямые, то есть в геодезические на плоскости. Базовые теоретические результаты теории геодезических отображений римановых пространств были получены' в работах Т. Леви-Чивита [29], который вывел основные уравнения теории геодезических отображений, а также Т. Томаса [31] и Г. Вейля [32], получивших основные инварианты геодезических отображений: проективные параметры Томаса и тензор Вейля проективной кривизны. С тех пор многие исследователи обращались к этой проблематике, изучая геодезические отображения псевдоримановых многообразий, наделенных дополнительной структурой. Теория наполнялась новым содержанием. Так, в се-

редине 20 века Уэстлейком и Яно [33] было доказано, что келеровы структуры не допускают нетривиальных геодезических отображений, сохраняющих комплексную структуру. Весомый вклад в формирование теории внесли одесские математики — Н.С. Синюков [22], [23] и его последователи Й. Микеш [20], С.Г. Лейко [19] и другие [17], [б]. Они также исследовали отображения и преобразования римановых, эрмитовых и других структур на многообразиях. Об актуальности таких исследований говорит в своей монографии Н.С. Синюков [22]: ’’Теория геодезических отображений римановых пространств, а также ее обобщения представляют интерес с прикладной точки зрения. Известно, что на основании принципа наименьшего действия Якоби траектории движения консервативной склерономной го-лономной системы являются геодезическими линиями риманова пространства, основная метрическая форма которого определяется кинетической энергией системы [29]. Далее, в соответствии с первым законом Ньютона траектории свободных частиц, движущихся в гравитационном поле, и линии тока в некогерентной жидкости являются геодезическими линиями риманова пространства, основная метрическая форма которого определяется обобщенными ньютоновскими потенциалами гравитационного поля. Поэтому, два риманова пространства, допускающие геодезическое отображение друг на друга, описывают процессы, протекающие при эквивалентных внешних нагрузках по одним и тем же ’’траекториям”, но при различных энергетических режимах. Следовательно, один из этих процессов можно моделировать другим”.
Сейчас вопросами проективных преобразований занимается, в частности, В.Ф. Кириченко [12] и его ученики Х.М. Абоуд [1], A.B. Никифорова [14] и другие. Болес того, на сегодняшний день ведется активное изучение многообразий с фиксированными на них контактными структура-

6) Щ0д = ВаЬ<°-2анС(№]]
7) Д0ак. = 2Ссьаа + Саьс + В? - С1Вк - С^нь;
8) Я“ш = -Ваш - СаьС1 - '-(а/ + о“,) - К 2 + аьаь)д«;
9) Да&0 = — (стаь + сГдСТ^);
Ю) Щы - Щсо - ^оу “ 0.
3.2 ЬгС^Э-критерий
Докажем некоторые факты, необходимые для получения условий, при которых локально конформно квази-сасакиево многообразие является локально конциркулярно квази-сасакиевым.
Лемма 3.1 Пусть задано конформное преобразование (г/, Ф, с?) -> (г/Д,Ф,д) Ж-структуры, и пусть П и П - фундаментальные формы исходной и преобразованной структур соответственно. Тогда справедливы следующие соотношения:
<1о = 1—— (Щ о Ф - о Ф) - - 6*П) о ш; (3.6)
2 7Х 1 2т1
Лет = - , 1 -{Ш - 8*П) О [ - 2-(?*П - О т; (3.7)
2(п — 1) 2п
где о — определяющая функция конформного преобразования, 8 и 6* — операторы кодифференцирования и альтернативного кодифференцирования, которые задаются соотношениями (<КЭ).-,..лг-1 = 91'к^к%..Лг, (^*©)ч...*г_1 = &гкУк®ц..лг, соответственно (здесь 0 — произвольная дифференциальная г-форма на М).
Доказательство. Пусть 5 = (?/,£, Ф,д) — Ж-структура на многообразии М, в — (г},£,Ф,д) — Ж-структура, полученная из 5 конформным преобразованием метрики с определяющей функцией а; V и V — римановы