Геометрия многообразий Ниренберга

• Автор: Докалюк, Светлана Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Некоторые классические структуры на

многообразиях

1.1. Почти комплексные и почти эрмитовы структуры на многообразиях

1.2. Структура почти произведения на многообразиях

1.3. Структуры Яно на многообразиях

Глава 2. Тетра-структуры на многообразиях

2.1. Тетра-структуры и их присоединенная О-структура

2.2. Первая группа структурных уравнений тетра-структуры

2.3. Интегрируемость тетра-структуры

Глава 3. Структуры Ниренберга на многообразиях
3.1. Связь между структурами Ниренберга и тетра-структурами
3.2. Структурные уравнения //-структуры
3.3. Фундаментальное распределение //-структуры
3.4. Связь между СЛ-структурами и //-структурами
Глава 4. Структуры Ниренберга на пространстве главного
расслоения над многообразием Яно
4.1. Главные расслоения
4.2. Тетра-структуры на пространстве главного расслоения над многообразием Яно
4.3. Структуры Ниренберга на пространстве главного расслоения над многообразием Яно
Литература

Введение
Инволютивные распределения (как самостоятельный объект или в составе дифференциально-геометрических структур) традиционно являются предметом изучения в дифференциальной геометрии. Классическим результатом в этом направлении является полученная в начале 50-х годов теорема Фробениуса [16] о том, что распределение на гладком многообразии инволютивно тогда и только тогда, когда оно вполне интегрируемо.
В 1958 г. Л. Ниренберг доказал ’’комплексную теорему Фробениуса” [43] и показал ее применение к уравнениям с частичными производными.
В 1962 г. М. Брейер и Д. Вилленвебер, используя локальные 1-параметрические группы преобразований, установили существование и единственность интегральных многообразий инволютивного распределения [22].
На этом изучение инволютивных распределений как самостоятельных объектов практически завершилось и внимание геометров переключилось на различные дифференциально-геометрические структуры, включающие в свой состав интересующие нас распределения. Отметим некоторые из таких структур.
В 1963 г. японским математиком К. Яно было введено понятие /-структур на многообразии, т.е. оператора /, удовлетворяющего тождеству /3 + / = 0 [53]. После этого начался бурный поток исследований геометрии /-многообразий, а также их обобщений. В частности, были получены условия частичной интегрируемости /-структуры [54], что, как мы покажем, равносильно заданию двух инволютивных распределений на /-многообразии (£>уС^ и £ = где £ =1пх/, - собственное распределение
оператора /, отвечающее собственному значению 1) •
Рауль Эсхарте изучал свойства регулярных слоений [27], т.е.

инволютивных распределений Р на дифференцируемом многообразии М, для которых факторпространство М/Р наделено структурой дифференцируемого многообразия. В частности, он описал свойства пфаффовых форм, определяющих это распределение.
В работе Г. Георгиева [29] рассмотрены так называемые структурные распределения, под которыми понимаются инволютивные распределения Ор, заданные на дифференцируемом многообразии Уп относительно базисных форм ш1{1 — уравнениями
0' = — Аша = 0; а = 1,..., р; + при условии
йА — ЫтпосКд3). Такие распределения называются абсолютными, если, кроме того, с1Ага = 0. Одним из результатов является нахождение условий, при которых абсолютное структурное распределение Г)р на Уп вместе с некоторым абсолютным структурным распределением на грассмановом расслоении над У„ р-мерных векторных подпространств во всех Тх(уп), х £ Уп определяет в Уп структуру главного расслоенного пространства с р-мерными слоями.
Особо следует отметить так называемые структуры Коши-Римана (СД-структуры), введенные в рассмотрение в конце 60-х годов и являющиеся предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии до настоящего времени. Напомним [31], что С Д-структурой называется такое инволютивное распределение Н в комплексификации касательного расслоения многообразия, которое имеет тривиальное пересечение с сопряженным распределением. Многообразие с фиксированной на нем СД-структурой называется СД-многообразием.
В работе Г. Дини и К. Парини [24] рассматриваются свойства СД-структур на гладкой гиперповерхности в области С/ С С".
К. Сакамото и Е. Такемура получили инварианты кривизны СЯ-многообразий [46].
Х.-С. Люк изучал локальную геометрию невырожденных многообразий Коши-Римана [36]. В частности, он разработал аппарат дальнейшего изучения пучка Чженя-Мозера для СД-многообразий, позволяющего объединить так называемые внутренний и внешний аспекты изучения таких многообразий.

Заметим, что
/2 ° & = |(/2 - /4) = |(/2 ~ «0 = -<к /2°<*2 = |(/2+ /4) = ^
Значит,
1)/2к = -^; 2) /2к = М (2.4)
Из (2.4;1) в силу определения 1.1.1 получаем, что ограничение на тетра-структуры / определяет на этом распределении почти комплексную структуру, что позволяет ввести взаимно дополнительные проекторы в модуле Г>1:
сг _ ; ^ _ !^±уЕ1Лв1_ (2.5)
Образы этих проекторов
= 1тсг и = 1тсг
являются собственными подмодулями оператора /|д1 с собственными
значениями Т и —л/—1, соответственно, и
В = 0 (2.6)
Аналогично, в силу (2.4;2) и определения 1.2.1 получаем,
что ограничение на 1)2 тетра-структуры / определяет на этом
распределении структуру почти произведения, что позволяет ввести
взаимно дополнительные проекторы в модуле 1>2:
01 = !(«*■+ /к), 02 = К^-/к)- (2.7)
Образы этих проекторов
= 1т©!, В^ = 1т©
являются собственными подмодулями оператора /ц2 с собственными
значениями 1 и —1, соответственно, и
В2 = В}®В 71. (2.8)
С учетом (2.3), (2.6), (2.8) получаем, что
ХС(М) = А 0 Д> = 0 Л} © О/1,' (2.9)