Гомологические подходы в задачах о неподвижных точках, точках совпадения, в теории обобщенных полиэдров

• Автор: Артамонов, Дмитрий Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с. : ил.

Введение.
В 1926-ом году Лефшецом в работе [13] была впервые доказана теорема о точках совпадения двух кусочно-линейных отображений компактных связных триангулированных и ориентируемых многообразий одинаковой размерности без края.
Для формулировки теоремы Лефшеца фиксируем поле коэффициентов Я. Определим прежде всего число, называемое числом Лефшеца совпадений.
Пусть М, N - п-мерные компактные связные триангулированные и ориентируемые многообразий без края. Пусть /, д - кусочнолинейные отображения из М в N. Пусть в4 - отображение Я5]!'/; Я) в себя , равное композиции Я?(Я;Я) —>/* НЧ(М-,Я) — Я„_?(М; Я) —ЯП_,(/7;Я) —>д-1 НЧ(Я;Я), здесь В - двойственность Пуанкаре. Так как Я?(ЛГ; Я) есть конечномерное векторное пространство, то определён след данного отображения. Определим число совпадений Л/,9 как элемент поля Я, равный £=0(—1)95'рв4.

Имеет место следующее утверждение.

ТеОРБМА(Лефшец). В рассматриваемых условиях, еслик.! О, то существует точка х, такая что /(х) = д(х).
Теоремы, обобщающие данный результат на случай двух непе-рывных отображений топологических ориентируемых замкнутых многообразий одной и той же размерности были получены в 70-х годах в работах Щслоковой Т.Н. [14] и МикЬсгща К. [15]. Построение числа Лефшеца и формулировка теоремы в данной ситуации такие же.
Обобщения данного результата на случай отображений многообразий с краем было получено Накаокой в работе 1980-го года [16]. Точнее, хотя данная теорема не доказана непосредственно в работе [16], но она является следствием леммы 8.1 в [16] и уже изветсной теоремы для многообразий без края. Приведём формулировку данной леммы.
Пусть М, N - топологические многообразия с краями, компактные и ориетируемые. Пусть /, д - непрерывные отображения из М в N и пусть одно из отображений, скажем д, отображает дМ в дИ. Число Лефшеца в данной ситуации определяется как где в4 есть отображение Я4 (IV; Я) в себя, равное композиции Я«(Я; Я) ЯЧ(М; Я) Нп-ч{М, дМ; Я) Я„_,(Я, 8Я; Я) Я?(Я; Я). Здесь Я - опять двойственность Пуанкаре. Заметим, что
ВВЕДЕНИЕ.
в силу компактности векторное пространство НЧ(Н Щ опять конечномерно, так что след Брд4 определён.
Пусть ОМ - удвоение М, т.е. результат склейки двух экземпляров М по отождествлению их краёв. Очевидно, что ЯМ будет многообразием без края, компактным, ориентируемым. Оба эти экземпляра М содержатся в ОМ, обозначить их можно как М+ и М~. Имеется ретракция г : ОМ —> М, совмещающая оба экземпяра М, составляющие ОМ, с М+. Аналогичная кострукция имеет место и для N. Имеется вложение i: Лг+ С ЯЯ. Определим удвоение отображения д, сохраняющего край, как отображение Од : ОМ —> ЯЛ', отображающее М+ в А+ и М~ в ЛГ~ с помощью отображения-. Так как д отображает край в край, то данное отображение корректно определено.
Лемма 8.1 в [16] гласит, что А/:9 = Л*/Г1£>3. При этом г/г, Яр представляют из себя отображения многообразий без края, а для этого случая теорема уже известна. Кроме того, наличие точки совпадения у пары отображений г/г, Од влечёт наличие точки совпадения у отображений /, з,'так что указанная теорема для случая многообразий с краями действительно непосредственно следует из результатов [16],
В [16] получены также результаты о структуре числа Лефшеца в случае, если имеется пара послойных отображений расслоений, база, слои и пространства которых - многообразия (см. ниже)
Непосредственно теорема для случая отображений многобразий с краями получена в работе 1992-ого года К. МикЬег]еа [17] (при этом автор признаёт приоритет Накаоки). В данной работе приведены также некоторые следствия из полученной теоремы. В частности, следующее непосредственное следствие, обобщающее теорему Брауэра о неподвижной точке: отображение, сохраняющее границу, имеет точку совпадение с каждым несущественным отображением.
В случае, когда оба отображения сохраняют край, имеются два числа Лефшеца - Ли Адд. В [17] приведён пример, что они различны. Более того, одино из чисел может быть нулевым, в то время когда второе - не равно нулю. Отметим в связи с этим следующий результат данной работы: в ранее введённых обозначениях, в случае, когда / и д сохраняют границу, имеет место равенство: 2Л/,я = DS,Dg-,rAJgм>ggм. (При этом граница может быть и несвязной, но распространение данной теории на несвязные многообразия тривиально).

В работе 1997 года Б.Ь. СопсаЯеэ, Л. ЛеекЫ [3] рассмотрели случай, когда многообразия М, Я компактны, но, вообще говоря, неориентируемы и имеют края. При этом налагаются два дополнительных требования. Первое состоит в том, что отображение д ориентируемо, то есть д*!Кп(М) = ИСП(М). Здесь 9£„(М) - ориентирующий пучок многообразия М (определяемый как продолжение на край ЭМ ориентирующего пучка многообразия т1М, образованного локальными гомологиями Нп(М,М х Я) в точках х € ММ с коэффициентами в Я). Второе требование имеет два варианта: либо /(ЭМ) С ЭЯ, либо д(дМ) С ЭЯ. Числа Лефшеца определяются как 52д=о(— где в случае, когда д{дМ) С ЭЯ,
в9 есть отображение пространства Я5(IV; Я) в себя, равное композиции: Я’(Я; Я) -V* ЯДМ;Я) =в Я„_?(М, ЭМ; ИП(М)) —э. ЯП_3(Я, ЭЯ;9СП(Я)) =в НЧ(МЯ). В случае же, когда /(ЭМ) С ЭЯ, отображение 9Я есть отображение в себя пространства Я?(Я, ЭЯ; Я), определённое как композиция:Я?(Я, ЭЯ; Я) —+/ НЧ(М, дМ; Я) ЯП_,(М;9С„(М)) ->г. Я„_,(Я; 9€„(Я)) =л
Я5(Я, ЭЯ; Я). Участвующие здесь двойственности Пуанкаре будут пояснены в основном тексте ниже. Заметим, что в силу компактности многообразий векторные пространства Я?(Я, ЭЯ; Я), ЯДЯ; Я) конечномерны, поэтому следы определены.
В каждой из этих двух ситуаций определено число Лефщеца совпадений отображений /, д и доказано, что неравенство этого числа нулю влечёт наличие точек совпадения у отображений / и 9-
В случае многообразий без края оба способа определения числа Лефшеца совпадений эквивалентны. В случае же непустых краёв, когда /(ЭМ) С ЭЯ и д(дМ) С ЭЯ одновременно, имеются два различных способа определить число Лефшеца совпадений. В работе [3] доказывается результат, близкий результату МнкЬег)еа К.. Именно, доказывается, что разность этих двух чисел с точностью до знака совпадает с числом Лефшеца пары отображений / Iам,д Iэм- ЭМ —> ЭЯ.
Если обобщения на случай многообразий с краем, неориетиру-емых, но обязательно компактных, шли по пути обощения схемы доказательства в простейшем случае замкнутых многообразий, то случай некомпактных многообразий потребовал привлечения новых идей. В случае ориентируемых многообразий без края возникшие проблемы были преодолены В.Р. Давидяном в работе 1980-ого года [25]. В данной работе было сделано следующее.
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
Н*(У/, (1У Л (ВВ х Я)) и (Ил Д(В)); Д®ИП(Я)). Поэтому получаем нужное нам равенство 7 р3*а = 7 ра □
Вернёмся к доказательству леммы 3.
Пусть т' £ Я"(Я х Я, (Я х Я) Д; Д®5С„(АГ)) - класс, отвечающий т1П{ при изоморфизме ЯП(Я х Я, (Я х Я) Д; Д®ИП(Я)) ~ Нп(ш1М х гпВЯ, (гтДЯ х т2Я) Д; ДфЯЦЯ)) (см. п.З). Возьмём а £ ЯДА, ЭЯ; К). Пусть тх - образ класса т' в группе Нп(Ь х Я, (ВВ х (Я ВВ)) и ((В ВЬ) х ЭЯ) и (В х (Я Вх)); ДЩСДЯ)).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 10. Произведения Т ра, Т рсх. лежат в группе Д*(В х IV, (ВВ х IV) и (В х ЭЯ) и (В х (ЯВх)); Д®;К„(Я)) и верно равенство Т ра = тх р]*а.
Доказательство. Применим теперь предыдущую лемму. Пусть 7 - образ класса т' в группе когомологий Нп(Ь х Л', (ВВ х (Я ВВ)) и ((В хЯ)Д); Д®34П(Я)). Согласно предыдущей лемме имеем: 7 ра = 7 при этом данное произведение лежит
в группе Я*(В х IV, (ВЬ х Я) и ((В х Я) Д); Д®9бп(Я)). В соответствии с его определением класс 7 ограничивается в тх. При этом произведение 7 ра перейдёт в произведение тх р*2а 6 Я*(В х Я, (ВЬ х (Я ВВ)) и (В х 9Я)) и (В х (Я Вх)); Д®Я!П(Я)). Так как (ВЬх (ЯВВ))и(ВхЭЯ) = (ВВхЯ)и(ВхЭЯ), то данная группа есть Я*(ВхЯ, (ВВхЯ)и(ВхЭЯ)и(Вх (ЯВх)); Д®ИП(Я)). Аналогично класс 7 ра ограничивается в класс тх р(Да £ Я*(ВхЯ,(ВВхЯ)и((ВВВ)х9Я)и(Вх(ЯВх));Д®Я:„(Я)).Как и выше, данная группа есть Я*(ВхЯ, (ВВхЯ)и(ВхЭЯ)и(Вх (Я Вх)); Д®И„(Я)). При этом в силу леммы 4, т ра = тх р|у*а.

Предложение 11. Произведения т£ Р2а, где ть € Я"(В х Я, (В X (Я Вх)) и (ВВ х Я); Д®ИСП(Я)) (см. определение 9), и тх Р2а лежат в группе Я* (В х Я, (ВЬ х Я) и (В х ЭЯ) и (В х (Я Вх)); Д®МП(Я)), причём Ть ра: = “П. Р2а-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что класс Тх является образом введённого выше класса т' в группе Нп(Ь х Я, (ВВ х (Я ВВ)) и ((В ВВ) х ЭЯ) и (В х (Я Вх)); Д®Э4„(Я)) , а т, в соответствии с его определением, получается из т ограничением в группу Нп(Ь х т4Я, (ВВ х ш4Я) и (В х (т4Я Вх)); Д®1КП(Я)) и изоморфизмом (вследствие гомотопической эквивалентности) Нп(Ь х гп(Я, (ВВ х гп4Я) и (В х (ш4ЯВх)); Д®ИП(Я)) ~ Я"(В х Я, (ВВ х Я) и (В х (Я Вх)); Д®ТС„(Я)). Поскольку т - также ограничение