Комбинаторные аналоги алгебр когомологий для выпуклых многогранников

• Автор: Тиморин, Владлен Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Место защиты: Б. м.
• Количество страниц: 149 с. : ил

Оглавление

1 Выпуклые многогранники

1.1 Простые многогранники

1.2 Условия Макмюллена

1.3 Теорема Маколея

1.4 Циклические многогранники и конструкция Бийера-Ли

1.5 Элементарные перестройки

2 Смешанные объемы

2.1 Неравенства Брунна и Минковского

2.2 Многочлен объема

2.3 Смешанные объемы

2.4 Неравенство Александрова-Фенхеля
3 Торические многообразия
3.1 Проективные вложения тора
3.2 Отображение момента
3.3 Когомологии гладких торических многообразий
3.4 Теория Ходжа
3.5 Когомологии Горески-Макферсона

4 Алгебра простого многогранника
4.1 Алгебра многогранника
4.2 Изменение алгебры многогранника при элементарной перестройке
4.3 Аналог теории Ходжа
4.4 Многогранники, простые в ребрах

Введение
Комбинаторика выпуклых многогранников тесно связана со многими разделами математики — в особенности, с линейным программированием и математической экономикой, с дискретной математикой, с задачами оптимизации, с теорией чисел, с топологией, с алгебраической геометрией и математической физикой.
Первым результатом комбинаторной теории многогранников считается знаменитая теорема Эйлера (полученная независимо Р. Декартом и Л. Эйлером) о связи между числом вершин, числом ребер и числом граней трехмерного выпуклого многогранника. Эта теорема была обобщена
А. Пуанкаре на случай произвольной размерности. Обозначим через Д число ^-мерных граней некоторого выпуклого многогранника размерности гі. Теорема Эйлера-Пуанкаре утверждает, что Х^=о(—= 1-Набор чисел Д называется /-вектором. Теорема Эйлера-Пуанкаре дает единственное линейное соотношение на /-вектор произвольного выпуклого многогранника. Задача описания всех возможных /-векторов решена только в размерностях 2 и 3 (Штейниц).
Выпуклый многогранник размерности (I называется простым, если в каждой его вершине сходится ровно (1 ребер. Если выпуклый многогранник задается системой линейных неравенств общего положения, то

Заметим, что многочлен /а не равен тождественно нулю. Точка v(t) принадлежит гиперплоскости а — 0 тогда и только тогда, когда fa(t) = 0.
Предположим теперь, что точки v(ti), vfa),..., v(t,j+ i) лежат в одной гиперплоскости а = 0. Тогда многочлен /я обращается в 0 в точках ii,..., t Из предложения 1.4.2 вытекает, что любые к < d + 1 точек на кривой Веронезе аффинно независимы, то есть не лежат ни в каком общем подпространстве размерности к — 2.
Теорема 1.4.3. Всякий циклический многогранник является смежност-ным.
Доказательство. Пусть k < [d/2]. Зафиксируем любые к вершин ■w(ii),..., v(tk) нашего циклического многогранника. Пусть «(Д+О,..., v(tn) — остальные вершины. Для доказательства теоремы достаточно предъявить такой многочлен fa (см. доказательство предложения 1.4.2), что
fa(tï) = fa(t2) = ■■■ = fa{tk) = 0, fa(tk+1) > 0, . . . , fa{tn) > 0.
Действительно, выделенные к вершин будут лежать в гиперплоскости а = 0, а остальные вершины — по одну сторону от нее. Это означает, что циклический многогранник пересекается с рассматриваемой гиперплоскостью по грани. Поскольку зафиксированные к вершин аффинно независимы, эта грань является симплексом размерности к - 1, а все выделенные вершины — вершинами этого симплекса.
Искомый многочлен fa можно задать явной формулой:

/.vW =1у(0П(/" /‘)2)