Геометрические аспекты теории объемов гиперболических многогранников

• Автор: Краснов, Владимир Александрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Коломна
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Оглавление
Введение
0.1 Первичные определения и понятия
0.2 Актуальность темы исследования
0.3 Цели работы
0.4 Методы исследования
0.5 Научная новизна
0.6 Теоретическая и практическая ценность
0.7 Апробация результатов работы
0.8 Структура и объем диссертации
1 Объемы неевклидовых тетраэдров
1.1 Объемы евклидовых многогранников
1.2 Объемы неевклидовых тетраэдров специального вида
1.2.1 Некоторые предварительные результаты
1.2.2 Объем ортосхсмы в и И
1.2.3 Объем идеального тетраэдра
1.3 Объемы произвольных неевклидовых тетраэдров
1.3.1 Формула Сфорцы объема произвольного неевклидова тетраэдра
1.3.2 Формула Мураками-Яно
1.3.3 Специальная функция Лобачевского и се свойства

1.3.4 Формула Деревнина-Медных

2 Объемы гиперболических октаэдров с нетривиальными
симметриями
2.1 Объемы евклидовых и сферических октаэдров, обладающих пиит- и 2|т-симмстриями
2.2 Объем гиперболического октаэдра, обладающего ттт-епмметрпей
2.3 Объем гиперболического октаэдра, обладающего 2|т-симметрисй
3 Объемы компактных остроугольных гиперболических
многогранников
3.1 Остроугольные многогранники
3.2 Вычисление объема гиперболической треугольной призмы при некоторых ограничениях на ее двугранные углы
3.3 Объем остроугольного гиперболического куба
3.4 Вычисление объема произвольного гиперболического компактного остроугольного многогранника
Литература

Введение
0.1 Первичные определения и понятия
Мы рассматриваем задачу вычисления объема трехмерного многогранника в классических неевклидовых пространствах. Под классическими неевклидовыми пространствами мы будем понимать сферическое пространство §3 и гиперболическое 'пространство Ы3. Причем всегда будем предполагать, что данные пространства наделены стандартными метриками, в которых они имеют постоянные кривизны К — 1 п К — — 1 соответственно.
Определим §3 как множество точек евклидова пространства Е4, координаты которых удовлетворяют условию:
(х, х) — х + х + х + х = 1.
Аналогично, определим пространство Н3 как множество точек пссв-доевклидова пространства Езл, координаты которых удовлетворяют следующей системе условий:
{(£, х) = — х + х + х + х == — 1 Ж] > 0.
Следовательно, гиперболическое пространство Н3 может быть реализовано как связная компонента двуполостного гиперболоида (х, х) = — 1 в Е4.

Пусть V-дискриминант уравнения (9) , т.е.
Т> — 01 — 4 а 7.
Тогда
V = (аЬсде /)2 (/3?-4|7|2). Прямыми вычислениями можно показать, что:

16(abcde f)
Следовательно,
Pi - 4|Т|2 < 0.
Найдем решения z и z2'
-Р±у/Р- Aon , , , -Pi ± у/Щ - 4І7І
гі,22 =-----—--------— abede f

значит
N2 = Ы2 =
А так как
7 1 + abс + abde + acd f + а е / + bee f + bd f + cde

a 1 + abc + abde + acdf + aef + bcef + bdf + cde то мы получаем, что |zi] = 1221 = 1. □
Далее, пусть Vol(T)-объем гиперболического тетраэдра Т. Имеет место следующая теорема Мураками-Яно ([MY]), доказанная в [37].
Теорема 10. (J. Murakami, М. Yano, 2001). Объем гиперболического тетраэдра Т находится по формуле:
уад-і тр'.г)-с(г,г)