Динамика и сингулярности в моделях инерционного переноса масс

• Автор: Соболевский, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 274 с. : ил.

Содержание
Введение

Обзор содержания диссертации

1. Вводные замечания

2. Уравнение Гамильтона-Якоби и его сингулярные решения

3. Глобальный анализ сингулярных решений

4. Локальный анализ сингулярных решений

5. Сингулярные решения в моделях космологии

6. Реконструкция пекулярных скоростей и смещений

элементов темного вещества в космологии

Глава 1. Разрушение решения уравнения Гамильтона—Якоби
в неограниченной области
1.1. Вводные замечания
1.2. Доказательство оценки сверху на скорость минимизирующей
траектории
1.3. Построение «ступенчатого» ускоряющего потенциала.
Нижняя оценка скорости
1.4. Построение «ступенчатого» ускоряющего потенциала.
Глобальный по времени случай
Глава 2. Конструкции слабой теории KAM для глобальных решений уравнения Гамильтона-Якоби в периодическом потенциале и в задаче Монжа-Канторовича на окружности
2.1. Вводные замечания
2.2. Функционал действия. Редукция к функциональному уравнению
2.3. Доказательство теоремы 2.

2.4. Многозначное отображение, соответствующее sa(-)
2.5. Доказательство теоремы 2.
2.6. Связь с идемпотентным спектральным анализом
оператора Беллмана
2.7. Обзор решения транспортной задачи на окружности
2.8. Основные определения
2.9. Сопряженные транспортные планы и сдвиги
2.10. Транспортная оптимизация для периодических мер
2.11. Глобальная оптимизация стоимости транспортного плана
Глава 3. Динамика лагранжевых траекторий внутри сингулярных многообразий уравнений
Гамильтона-Якоби
3.1. Вводные замечания
3.2. Вязкостные решения и допустимые градиентные векторные поля
3.3. Допустимые скорости и допустимые импульсы
3.4. Предел исчезающей вязкости
3.5. Интегральные кривые поля допустимых траекторий
Глава 4. Модель инерционного переноса масс при условии
сохранения импульса
4.1. Вводные замечания
4.2. Лагранжева запись в массовых координатах и определение
обобщенных решений
4.3. Массовая функция и обобщенный вариационный принцип
4.4. Вязкостное возмущение системы уравнений одномерной газовой
динамики без давления

4.5. Система уравнений одномерной газовой динамики без давления
в случае гравитирующего вещества
4.6. Вариационный принцип А. И. Шнирельмана
4.7. Баллистическая агрегация в старших размерностях
Глава 5. Применение модели инерционного переноса масс
в задаче космологической реконструкции
5.1. Вводные замечания
5.2. Задача реконструкции прошлого расширяющейся Вселенной .
5.3. Реконструкция методом МАК
5.4. Реализация, тестирование и применение метода МАК
в космологии
Заключение
Литература

лей импульсов и скоростей, которые не дают возможности построить классические решения транспортного уравнения ф(£) = м(£, 7(£)).
Если пространственная часть задачи одномерна, ответ на этот вопрос дать легко. Компоненты сингулярного многообразия при каждом £ представляют собой изолированные точки оси х, и после того, как частица попадает в одну из них, она продолжает двигаться вместе с ней во все последующие моменты времени. Данная конструкция тесно связана с теорией обобщенных характеристик К. Дафермоса [84], хотя последняя переносится на значительно более широкий класс задач, включающий в себя невыпуклые гамильтонианы и системы законов сохранения (существенна лишь одномерность пространства). С другой стороны, в нескольких пространственных измерениях при каждом £ сингулярное многообразие состоит из поверхностей положительной размерности и даже для строго выпуклых гамильтонианов вопрос о продолжении динамики внутри таких поверхностей никоим образом не тривиален. Основной целью гл. 3 настоящей диссертации как раз и является дать каноническое построение такой динамики.
Первые результаты в этом направлении были получены И. А. Богаевским для уравнения Бюргерса (5) без внешнего потенциала [6, 56]. Рассмотрим начальную задачу для дифференциального уравнения
Г(£) = «'*(£, У), т'Чо ) = у, (21)
где им — решение (5). Поскольку при /I > 0 поле скоростей им является гладким, это уравнение определяет семейство траекторий частиц, образующих гладкий поток. Следующий шаг конструкции — предельный переход в этом потоке при д 4- 0. Оказывается, что данный предел существует и определяет поток с непрерывными, по не всюду дифференцируемыми траекториями, для которых всюду определена лишь односторонняя производная ф(£ + 0) = Нтгд)[7(£ + т) — 7(£)]/т. Вне сингулярного многообразия эта производная сов-