Нестационарная система Максвелла в областях с ребрами

• Автор: Матюкевич, Сергей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 142 с.

Глава 1. Система Максвелла в областях с коническими точками с краевыми условиями, отвечающими идеально проводящей границе

§1.1. Операторный пучок

§1.2. Глобальная энергетическая оценка

§1.3. Комбинированная весовая оценка

§1.4. Оператор задачи в шкале весовых пространств

§1.5. Асимптотика решений задачи

§1.6. Нестационарная задача в цилиндрах Q и Q

§1.7. Формулы для функций wStk, Wa

§1.8. Связь расширенной и обычной систем Максвелла

Глава 2. Система Максвелла в клине и в волноводе

с краевыми условиями, отвечающими идеально

проводящей границе
§2.1. Операторный пучок
§2.2. О свойствах оператора A(D)
§2.3. Оценки для задач в клине и в угле
§2.4. Операторы задач в К и в Q
§2.5. Задачи в цилиндрах Т и в Т
§2.6. Формулы для функций идь Ws^ для задачи в клине
§2.7. Связь расширенной и обычной систем
Глава 3. Система Максвелла с неоднородными краевыми
условиями
§2.1. Энергетическая оценка
§2.2. Оператор задачи
§2.3. Весовая комбинированная оценка
§2.4. Оператор в шкале весовых пространств
§2.5. Асимптотика сильных решений
§2.6. Нестационарная задача в цилиндрах Q и Q
§2.7. Связь расширенной и обычной систем Максвелла
§2.8. Неоднородные краевые условия Леонтовича
Публикации по теме диссертации
Список литературы

Мы изучаем нестационарную систему Максвелла
дЁ/дЬ — тої В = —3,
^ дВ/дї + гot Ё = — (5,
сііу Е = р, сііу В
(1)
в областях с ребрами и коническими точками. Рассматриваются краевые условия двух типов:
где V - единичный вектор внешней нормали, а через ф обозначена некоторая комплекснозначная функция (импеданс), характеризующая физические свойства границы. В работе обсуждаются разрешимость задачи в подходящих функциональных пространствах, вывод и обоснование асимптотических представлений для решений вблизи особенностей границы, формулы для коэффициентов в асимптотике. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первых двух главах изучается нестационарная система Максвелла с однородными краевыми условиями (2). Рассматриваются модельный конус, ограниченная область с конической точкой, клин и волновод, сечение которого - ограниченная область с угловой точкой. Третья Глава IIосвящена изучению нестационарной системы Максвелла с неоднородными краевыми условиями (2) и (3) в областях с коническими точками и ребрами.
Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей изучены достаточно подробно в работах В. А. Кондратьева, В. Г. Мазьи, Б. А. Пламеневского и других авторов. Решения эллиптических задач теряют гладкость в особых точках границы. Поэтому важным вопросом является описание свойств решений вблизи особенностей. Асимптотика решений вблизи особой точки границы представляется линейной комбинацией специальных решений однородной модельной задачи. При этом используются понятия, связанные со спектром операторных пучков (полиномов с операторными коэффициентами); асимптотические формулы для решений содержат собственные числа, собственные и присоединенные функции пучков. Эти спектральные характеристики определяются
[ЁхЗ = {Фхи, (В • у)
(2)

V х [В х у + ф[і/ х Е] = [Ф х у
(3)

коэффициентами дифференциальных операторов и границей в окрестности особой точки. Коэффициенты в асимптотике вычисляются при помощи специальных сингулярных решений однородной сопряженной задачи и данных исходной задачи. Подчеркнем, что вид асимптотики определяется свойствами оператора задачи вблизи рассматриваемой особой точки, а коэффициенты в асимптотике зависят от данных задачи в целом.
Результаты, полученные для эллиптических операторов, позволяют исследовать некоторые другие задачи. В качестве примера укажем задачу о гармонических колебаниях электромагнитных волн в резонаторе с идеально проводящей границей, содержащей ребра и конические точки. Поведение электромагнитного поля в резонаторе описывается при помощи системы Максвелла, которая не является эллиптической. Однако, в ряде случаев изучение особенностей электрической и магнитной компонент поля вблизи ребер и конических точек сводится к такому же вопросу для скалярных эллиптических задач второго порядка. В простейшем случае, когда резонатор пустой, это задачи Дирихле и Неймана для оператора Лапласа.
Результаты об асимптотике решений вблизи особенностей границы имеют различные приложения. Приведем пример, связанный с численным анализом задачи о гармонических колебаниях электромагнитных волн. Оказывается, использование обычных конечных элементов при расчетах полей в резонаторе с входящими ребрами приводит к принципиальной ошибке: вычислительный процесс сходится, но не к решению задачи. Существуют различные методы расчетов для резонаторов с ребрами, в которых эта ошибка устранена. В одном из таких методов, в частности, используется информация о структуре асимптотического представления решения вблизи ребер.
Гиперболические задачи в негладких областях исследованы значительно меньше эллиптических. Здесь имеется широкий круг открытых вопросов. Укажем некоторые работы, в которых изучается поведение решений вблизи особенностей границы. В работе Г.Ю. Эскина [1] была получена явная формула для решения волнового уравнения в клине с ребром коразмерности 2. На гранях клина задавались однородные дифференциальные операторы любого порядка с постоянными коэффициентами, подчиненные равномерному условию Лопатинского. Используемый метод (редукция к задаче Римана-Гильберта) не обобщается на клин с ребром коразмерности большей, чем 2. Задачу Коши-Дирихле для волнового уравнения в областях с коническими точками исследовали В. А. Кондратьев, О. А. Олейник, И. И. Мельников в работах [2] и

{A(DV), Г} эллиптическая. Поэтому, если на прямой Im Л = ß + 1/2 отсутствуют собственные значения пучка 21, то для функции U £ Hß{K, 1) такой, что TU — 0, справедлива оценка (см. [19],
глава 3)
\Хи-,Щ(1С)\2 < с||А(Д,)ХЕ/;Я°(/С)!|2.
Поскольку AU = AU + [A,x]U и M(Dn,&) = в + A(DV), неравенство переписывается в виде
\Хи-,Н1(кМ <с{||ХМ(Я„0)1/;Я°(Л;)||2 + ||^;Я0(Л:)||2}, (40)
где ф £ С£°(£), хФ
Шаг 2. Оценка вдали от вершины. На этом шаге для любого ß £ R и любой функции U £ Яд (/С, 1), подчиненной краевым условиям TU — 0, доказывается неравенство
('т/]^[)211«0оС/;Я°(/С)||2 <
< c{\KxM{Dn,e)U]H0ß{K:)f + \фоои-,Н°0_1{К.)\2}, 1 ;
где постоянная с не зависит ни от U, ни от т, через фж обозначены гладкие функции в /С, равные нулю вблизи вершины конуса И единице В окрестности бесконечности, причем Косфоо = Пусть к,ф е С°°(/С), кф = к , supp к С {х £ К : 1/2 < г < 2},
supp ф С {х £ К, : 1/4 < г < 4}. Согласно оценке (34), получаем
72||kC;L2(/C)||2 < \M(Dx,t)kU-,L2()C)\2.
Поскольку MkU = kMU + [М, «]{/, то
72||kU; Ь2()С)||2 < c{\kM(Dx, t)U; L2(JC)\2 + L2(K)||2}.
Возьмем в качестве U функцию х » IIе(х) = {/(х/е), а г заменим на
т/(|т|е) , где е > 0. Тогда последнее неравенство примет вид
(7/|ф)2||к{Я;1,2(/С)||2<
< c{\kM(Dx, т/тг)ие, Т2(/С) ||2 + ||фи*- Ь2{К) ||2}.
Сделав замену переменных х н-> ц = х/е, придем к оценке
(7/|т|)2|ф{/;Т2(/С)||2 < c{\K£M(Dv,9)U;L2()C)\2+ +е2\ф£и-Ь2{1С) ||2},