Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка в различных случаях зависимости правой части от первой производной

• Автор: Букжалев, Евгений Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с.

Краткое содержание работы

1 Погранслойное решение в стационарном случае

1.1 Постановка задачи

1.2 Построение асимптотики

1.2.1 Нахождение регулярной части решения

1.2.2 Нахождение левой погранслойной части решения

1.2.3 Нахождение правой погранслойной части решения

1.2.4 Установление экспоненциальных оценок погранчленов

1.3 Обоснование асимптотики

1.3.1 Построение барьерных решений

^ 1.3.2 Доказательство существования решения и его

асимптотического представления
1.4 Пример
2 Контрастная структура типа ступеньки для стационарного уравнения
2.1 Постановка задачи
2.2 Внутренний переходный слой резкого типа
2.2.1 Построение асимптотики
2.2.2 Обоснование асимптотики
2.3 Внутренний переходный слой плавного типа
2.3.1 Построение асимптотики
2.3.2 Обоснование асимптотики
2.4 Пример
3 Погранслойное решение в случае параболического уравнения
3.1 Постановка задачи
3.2 Построение асимптотики
3.2.1 Установление экспоненциальных оценок погранчленов
3.3 Обоснование асимптотики
3.3.1 Построение барьерных решений

3.3.2 Доказательство существования решения и его
асимптотического представления
4 Контрастная структура типа ступеньки для параболического уравнения
4.1 Постановка задачи
4.2 Внутренний переходный слой резкого вида
4.2.1 Построение асимптотики
4.2.2 Обоснование асимптотики
4.3 Внутренний переходный слой плавного вида
4.3.1 Построение асимптотики
4.3.2 Обоснование асимптотики
А О построении верхних и нижних решений по методу Нагумо
В О применении метода дифференциальных неравенств к уравнениям параболического типа

Данная диссертация посвящена изучению ряда краевых задач с малыми параметрами, возникших на основе усложнения и развития следующей сингулярно возмущённой задачи (см. [1], [2]).
е2у" = Г(у,х), х € (0,1),
у(0,е) = у°, у(1,е) = у1, (1)
е > 0 — малый параметр.
Наиболее простым из возможных решений (1) является погранслойное решение, характерная особенность которого заключается в наличии вблизи граничных точек областей резкого изменения искомой функции от граничных значений до некоторого решс-• ния вырожденного уравнения (уравнения, получающегося из исходного при обращении
параметра возмущения в нуль).
При рассмотрении сингулярно возмущённых уравнений, как правило, ставится задача построения асимптотического представления некоторого точного решения. В работах [1], [2] с помощью метода пограничных функций была построена асимптотика погранслойного решения (1). Суть этого метода заключается в представлении решения у(х,е) в виде суммы трёх составляющих: регулярной у(х,е), левой П(т, е) и правой ()(р,е) пограничных и построении асимптотического разложения каждой из них в отдельности. При этом члены левого погранслоя зависят от растянутой переменной т = х/е, а правого от р = (х — 1)/е
у(х,е) = у0(х) + еу^х) + •••,
П(т,е) = По(г) + еП,(г) + (2)
Я{р1е) = СМя) + еС/1 (р) + •••-
Таким образом, метод пограничных функций даёт представление решения в виде
некоторого ряда по степеням малого параметра
у{ X, е) = (у0(х) + По(т) + <5о (р)) + е (У,(х) + П, (г) + <Э, (р)) + ■■■■

(2.17), (2.18), (2.19) можно рассматривать как систему соотношений для определения х0. Будем считать, что её решение существует и предполагать, что оно изолированно. Для реализации последнего достаточно, чтобы при х
± ЛЫх), х) = ф о. (2.20)
ах Ву
Первое приближение.
?^ + (влу + рлалу)тл1+сл1 = о,
77(°) = 71 ~ Го(хо) Х1 ~ уЦхо)- ^2‘21^
г;(-оо) = о.
Для Тимеют место аналогичные соотношения.
Решением задачи (2.21) будет
П = (71 - - Гг) РЛо(ч) ~ } Ня- (2.22)
{ Р (^) А (в)
Пусть для определённости ^г(хо) < 7и < у’з(то)- Тогда обратим внимание на то обстоятельство, что подынтегральное выражение из (2.22) имеет смысл, вообще говоря, не при всех значениях аргумента. А именно, при3 р = т}* Тд(г]') = ^(хо) — У>1(хо), стоящее в знаменателе А обращается в нуль. Поэтому для обеспечения корректности определения (2.22) (а вместе с тем и самой постановки (2.21)) потребуем, чтобы СГ, (т]') = 0.
Ол(т,') = А ГА + (АГ(хг + »,*) + Гг) (~|) А +
+ (Х1 + 7)’) (~§) Ах + (&Г(Х1 + Г) + Г) Ву + (Х1 + Г) Вх
= (АГ(хг + 1/*) + Г) Ау + Ну) + (х, + г,*) (—к Ах + Вх)
= (хг + т?*) -В>ли+В’А! = 0.

В силу (2.20) последнее уравнение разрешимо и ап можно считать определённым: хг = -г/*.
Выясним вопрос о взаимно однозначной зависимости между и 70 (а следовательно и между хг и 70). Т. к. ф 0 (считаем, что 27 = 77(7,7о)), то г/ может быть однозначно выражено через 77 и 70: г/ — г/(Т7,7о). Кроме того, из (2.16)
(2.23)

^+ГгА(,,х0)
В(з,х0)
1 если считать, что 10 является также и функцией 70: = ^0(7, 70), то т?* = *7*(7о)«