Спектральные свойства гамильтонианов явнорешаемых моделей мезоскопических структур: декорированные квантовые графы и кантовые точки

• Автор: Лобанов, Игорь Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 154 с. : ил.

Основные обозначения

Глава 1. Вспомогательные сведения

§ 1. Сведения из теории самосопряженных расширений

1.1. Пространства граничных значений

1.2. Спектр самосопряженных расширений операторов с конечными индексами дефекта

§ 2. Вспомогательные сведения из гармонического анализ

2.1. Проективные представления и их линеаризации

2.2. Скрученные групповые С* -алгебры

2.3. Калибровочно-периодические операторы

Глава 2. Спектральные свойства гамильтониана заряженной частицы в квантовой точке с короткодействующей
примесью
§ 1. Точечные возмущения операторов Шредингера
1.1. Свойства функций Грина операторов Шредингера в Е3
1.2. Конструкция точечного возмущения
§ 2. Точечные возмущения в случае неограниченного потенциала конфайнмента точки
2.1. Свойства 42-функции Крейна
2.2. Спектр точечного возмущения как функция интенсивности возмущения
2.3. Зависимость спектра точечного возмущения от положения носителя возмущения
§ 3. Точечные возмущения гармонического осциллятора
3.1. Собственные функции и собственные числа гармонического осциллятора
3.2. £2 -функция Крейна и эффект позиционного беспорядка
3.3. Изотропный гармонический осциллятор

3.4. Спектр точечного возмущения изотропного гармонического осциллятора
Глава 3. Спектральные свойства операторов Шредингера на декорированных графах
§ 1. Операторы Шредингера в инвариантных семействах гильбертовых пространств
1.1. Самосопряженные расширения операторов на инвариантных семействах гильбертовых пространств
1.2. Признаки зонности и фрактальности спектра
1.3. Спектральный анализ на инвариантных семействах с абелевой группой периодичности
§ 2. Спектральные свойства периодических операторов Шредингера на декорированных графах
2.1. Декорированные графы
2.2. Инвариантные графы
2.3. Оператор Шредингера на гибридном многообразии
2.4. Инвариантные операторы Шредингера на декорированных графах
2.5. Открытие лакун при декорации
2.6. Нарушение гипотезы Бете-Зоммерфельда
Список литературы
Основные обозначения
Т* — ^-мерный единичный тор;
А — замыкание множества А;
В{г, г) — шар радиуса г с центром в точке г;
Кее [/(г), г = го] — вычет функции / в точке го;
3)(Н) — область определения оператора Я; Ыап(Я) — множество значений оператора Я;
/ — тождественный оператор;
Цізь-бг) — пространство ограниченных операторов из із і в -62;
ВД) = Ціз,із);
Н(із) — пространство самосопряженных операторов в із;
К(5ь#2) — пространство компактных операторов из ізі в І32;
ВД) = ВД,*з);
К — алгебра компактных операторов в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве;
и(^) — алгебра всех унитарных операторов в із Р(із) =и(#)/С/ — группа унитарных проективных преобразований пространства із; зрес(Я) — спектр оператора Я; р{Н) = С врес(Я) — резольвентное множество оператора Я.

В пространстве С(Г, сг) финитных комплекснозначных функций на Г определим умножение и инволюцию следующими формулами
Ш(г)= '£(г(у/3-1,/3)1(уГ1Ш,

/*(у) =сг(у-1,у)/(у-1).
В результате получаем некоторую нормированную (не полную, если Г бесконечна) инволютивную алгебру С(Г, сг). Представление 1Г порождает точное инволютивное представление п алгебры С(Г, сг) в С* -алгебре Ь(/2(Г)):
ВД=£я(у)£у-

Пополнение алгебры С(Г,сг) по норме ||а|| = ||тг(а)|| называют редуцированной скрученной С* -алгеброй группы Г с мультипликатором сг и обозначают С*е^(Г,сг); эту алгебру можно рассматривать как замыкание по норме образа С(Г,сг) в Ь(/2(Г)) при отображении л. Замыкание этого же образа в слабой (или, что в данном случае одно и то же, в сильной операторной топологии пространства Ь(/2(Г))) есть алгебра фон Неймана, которую обозначают Ж*(Г,сг) и называют скрученной алгеброй фон Неймана группы Г с мультипликатором сг. Эта алгебра совпадает с пространством операторов из Ь(/2(Г)), коммутирующих с операторами представления /Г.
Более общим образом для произвольного гильбертова пространства # определяется алгебра фон Неймана 1У*(Г,сг;.$э):
1Г (Г>;£) = {АЕ Ц/2(Г) 0Я): ЩА = АЩ Уу € Г}
(здесь и далее мы обозначаем для краткости В? — К7 <£> /, ЬГ = I? <8> I). Тогда С*-алгебра С*е^(Г,сг)<эК(#) естественным образом отождествляется с подалгеброй в 1У*(Г,сг;.5э).