Принцип локализации и изучение скорости стабилизации решений некоторых задач математической физики

• Автор: Рябенко, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 133 с. : ил.

Оглавление
Введение
Краткое содержание работы
Глава 1. Уравнение теплопроводности в полосе
с переменным коэффициентом теплопроводности
§ 1. Априорные оценки решения задачи (6)-(7)
§ 2. Существование решения задачи (4)-(5)
§3. Аналитичность решения задачи (4)-(5)
§4. Асимптотика решения задачи (1)-(3)
Глава 2. Уравнение теплопроводности в полупространстве
с переменным коэффициентом теплопроводности
§ 5. Априорные оценки решения задачи (9)-(10)
§ 6. Существование решения задачи (9)-(10)
§7. Аналитичность решения задачи (9)-(10)
§8. Асимптотика решения задачи (6)-(8)
Глава 3. Малые колебания экспоненциально стратифицированной
жидкости в предположении Буссинеска
§ 9. Доказательство существования, единственности и построение
точных асимптотик решения задачи (11)-(13)
Построение формального решения задачи (11)-(13)
Существование решения задачи (11)-(13)
Единственность решения задачи (11)-(13)
Принцип локализации
Построение асимптотики при ? —> со компонентов решения
Глава 4. Малые колебания стратифицированной жидкости
§ 10. Априорные оценки решения задачи (17)-( 18)
§11. Доказательство существования решения задачи (17)-(18)
§12. Аналитичность решения задачи (17)-(18)
§13. Построение оценки асимптотики по времени решений задачи (14)-(16)
Литература
Введение
Актуальность работы. Одним из важных направлений качественной теории дифференциальных уравнений является определение поведения решений начальных и начально-краевых задач математической физики при / —» со. Решению этой задачи посвящено большое количество работ.
Определению условий стабилизации и построению асимптотик решений параболических задач в цилиндрических областях были посвящены работы Ю. В. Егорова, В. А. Кондратьева, О. А. Олейник [1] и др.
Вопросы стабилизации при / —> оо решений уравнений математической физики параболического типа изучены в работах С. Д. Эдельмана [2], [3],
В. Д. Репникова [2], [4], В. П. Михайлова [5], Ф. О. Порпер [6].
Одним из классов задач математической физики, для которых изучают поведение решений при / —» да, являются задачи гидродинамики, см., например работы следующих авторов: С. Л. Соболева [7], [8], В. П. Маслова [9],
О. А. Ладыженской [10], В. Н. Маслениковой [11], [12], С. А. Габова [13], Ф. X. Мукминова [14], С. Г. Крейна [15] и др.
В настоящее время в связи с проблемами океанологии, физики атмосферы, а также охраны окружающей среды возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности стратифицированных, вязких жидкостей.
При изучении таких задач авторы часто используют дополнительные гипотезы, такие как предположение Буссинеска и предположение об определенном виде стратификации, см., например работы Г. В. Демиденко, С. В. Успенского [16], В. Н. Маслениковой, А. В. Глушко, А. В. Перовой, Ю. Д. Плетнера, А. Г. Свешникова [17], Л. М. Бреховских, В. В. Гончарова [39] и др.
В диссертации предложен подход, разработанный на основе принципа локализации, который в некоторой степени позволяет отказаться от этих предположений. Методика была разработана на основе исследования модельных задач, которыми стали начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности в полосе и полупространстве. Далее разработанный подход применен к иссле-

дованию задачи, описывающей малые колебания вязкой стратифицированной жидкости без использования предположений о виде стратификации и предположения Буссинеска.
Целью работы является разработка методов, позволяющих получать асимптотические оценки решений задач, описывающих поведение стратифицированной жидкости. Основным техническим приемом, позволяющим сделать это, является принцип локализации. Поэтому еще одной целью работы является развитие принципа локализации.
Методика исследований. Используются идеи и методы современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, теории функций комплексного переменного. В частности, используются теоремы о вложении функциональных пространств, принцип локализации для исследования задач гидродинамики, развитый A.B. Глушко и его учениками.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
1. Доказаны теоремы существования и выделены классы единственности решений рассмотренных задач для дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными;
2. Для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, являющихся образами Фурье-Лапласа исходных задач, на основе априорных оценок выявлены области аналитичности и, как следствие, проведена локализация, позволяющая установить связь между асимптотическим поведением решений исходных задач и поведением в окрестностях точек поворота решений задач в образах Фурье-Лапласа. Точность проведенных оценок подтверждена рассмотрением частного случая задач с постоянными коэффициентами;
3. Показано качественное изменение скорости стабилизации решений начально-краевых задач, описывающих распределение тепла, в зависимости от того, в каких областях они исследуются;

Вычислим норму оператора Ry попеременной х3 К|| в 12([0;с/]):
d 2 d
y{b2{x3)-by)u{x3,y,s) dx3 <у2 с ju(x3,у,sf dx3.

Следовательно, справедлива оценка
КИИ- (2.10)
Следующая априорная оценка справедлива при Re у > -є для всех s є R2 и при любом 5(x3)cC[0,rf], таком что при х3 є[0,с/]: 0<£/ < Ь(х3)<є3 , в том числе И ДЛЯ функции b2(x3) = const, (|у| + |л:|2 + К1К. Л (2-й)
и+и +#i
Рассмотрим оператор sRrAx. Из (2.10) и (2.11) следует, что <ес{с.
Таким образом, при є задача (2.9) будет иметь решение в С2(Г0; с/1), так
су с
как оператор, стоящий в левой части, обратим. Обозначим его Ае . Он ограничен в Т2([0;с/]). Значит, йc(x3,y,s) = А£ f(x3,y,s) будет из Т2([0;с/]). Поэтому решение (2.5)-(2.6) можно записать в виде ue(pc3,y,s) = А1 Ac f(x3,y,s). То есть
обратный оператор к М£ можно записать в следующем виде: A~l - А0' Af'.
Так же как и для u0(x3,y,s), можно показать, что u£(x3,y,s) вместе со своими производными по х3 до второго порядка включительно будет принадлежать l2([o; яф-
Теперь рассмотрим задачу (2.5)-(2.6) при є + Ає (є - то же, что и ранее).
Аналогично показывается, что при Ае задача (2.5)-(2.6) разрешима.
с, с
Отметим, ЧТО —отделимо от нуля. Поэтому, повторив проведенную выше