Решение краевых задач для некоторых вырождающихся В-эллиптических уравнений методом потенциалов

• Автор: Хисматуллин, Айрат Шамилевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Решение краевых задач для одного вырождающегося В-эллиптического уравнения первого рода методом потенциалов

§1. Фундаментальное решение

§2. Интегральное представление решения и вытекающие из него

свойства решений

§3. Постановка краевых задач для уравнения (Ту). Теоремы

единственности

§4. Потенциалы и их свойства

§5. Интегральные уравнения для плотностей

Глава 2. Решение краевых задач для одного вырождающегося Т-эллиптических уравнения 2-го рода методом потенциалов
§1. Фундаментальное решение
§2. Интегральное представление решения уравнения (Ев)
§3. Свойства решений уравнения (Ев)
§4. Постановка краевых задач БЕ и ЕЕ. Теоремы единственности

§5. Потенциалы и их свойства
§6. Решение задач ИЕ и ИЕ методом потенциалов
Глава 3. Решение краевых задач для самосопряженного вырождающегося 5-эллиптического уравнения методом потенциалов
§1. Фундаментальное решение
§2. Интегральное представление и вытекающие из них свойства
решений
§3. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы
единственности
§4. Потенциал и его свойства
§5. Решение задач Дирихле и Неймана методом потенциалов
Литература
Введение
Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными (см. А. В. Бицадзе [6, 7], М. М. Смирнова [37, 38] ).
Вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера (теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и т. д.). Особо значительную роль играют такие уравнения в газовой динамике. Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. Подробный обзор работ по этой тематике дан в книге [37]. В этих исследованиях в основном рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения первого рода. Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго рода, то к числу первых в этом направлении относится работа М. В. Келдыша [20], где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться от граничных условий и заменены условием ограниченности решения.
Позже А. В. Бицадзе в работе [7] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией. В данной работе доказывается, что условие ограниченности при у —0 может быть заменено условием и(х, у) = о{ут) при у —> 0.
Теория вырождающихся эллиптических уравнений дальнейшее развитие получила в работах И. А. Кароля [18], К. Б. Сабитова [39, 40], Р. С. Хайруллина [42], Р. М. Асхатова [3], Л. С. Парасюка [33], А. М.
Для доказательства стремления к нулю /І£ при є —> 0 достаточно доказать стремление к нулю при є —У 0 интеграла

= [ 7]т (С - ж) сов (тар, £) + сов (пР, Т}) {у + в (-// - у)) 2 (т? - у) // -1 |г+ У (£ - ж)2 + (у + в (Г) - у))"1 (т? - у)2
(1.70)
Введем местную систему координат с началом в точке М (ж, у) и с осью Оу вдоль внешней нормали п к кривой Г+ в точке М. В этой системе координат уравнение части ае кривой Г+ имеет вид г/ — /(£), ж = 0, у = о, п = (0,1), Р(£, т?), /(0) = О, /'(0) = О, пр
соз(пр, £) = —р=.=/ ——. совіпр-гі) = —.
х/Г+ТТШР 1 + (/'Ш)2
Интеграл (1.70) в местной системе координат принимает вид
_ Зт+4
г _ г -ггт+ву-г-' ./ (с- + 0п,:'12 і .ЧТТТ'Тс) !5
Перейдем от интеграла по кривой ае к интегралу по отрезку [—е, е]. При этом
<гг = = VI + (/'(0)2<«.
совупр, Г])
£ _ Зт+4
' П! г/ -
В результате имеем
4 = / (1.71)
Л (0 + Д/ЮГ+)
Оценим теперь подынтегральную функцию.
Так как Г+ - кривая Ляпунова , то /(£) Є Поэтому 1/(01 = О (|?Г+Д), |/'(01 = О (юЛ)
Отсюда имеем
Зш+4 Зт+4 Л
-стгте+я (/(О)-5-)

(е2 + 0(/(£)Г+2)
< м|£|й(1+А)+л+*_1.