Принцип усреднения для дифференциальных уравнений с переменным главным членом

• Автор: Соболевский, Евсей Павлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 128 c. : ил

§ I. Метод "параметрикс" и метод "коммутант"

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШ

§ 2. Полугруппы

§ 3. Операторы К(^Т) и КД^Ї)

§ 4. Оператор И (Ъ,(Т)

§ 5. Линейное уравнение

§ 6. Квазилинейное уравнение

§7. Дополнительные оценки гладкости

§ 8. Оператор в шкале пространств

ГЛАВА II. ПШНЩП УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШ

§ 9. Принцип усреднения для линейного однородного уравнения

§10. Принцип усреднения и устойчивость
§11. Принцип усреднения для квазилинейного
уравнения
§12. Принцип усреднения и нелокальная разрешимость квазилинейного уравнения
ГЛАВА III. ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШ
§13. Резольвента дифференциального оператора
§14. Дифференциальные операторы в шкале Гёльдера
§15. Коммутанты дифференциальных операторов
§16. Задача Коши для параболических уравнений
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ І.Принцип усреднения H.H.Боголюбова - Н.М.Крылова [l,2] применим для исследования широкого круга задач математической физики, приводящих к уравнениям с быстро осциллирующими коэффициентами. Этому принципу посвящено большое число работ, среди которых отметим монографии [з - 8] . В монографии [?] приведен обзор результатов по методу усреднения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными и для некоторых других классов уравнений.
Настоящая диссертация посвящена принципу усреднения для параболических уравнений. Поэтому более подробно остановимся на работах, в которых исследуется принцип усреднения для уравнений такого типа. Первой, повидимому, была работа [9], где исследована задача Коши
W=Й Ai/x1älk+|t Biw jSi+FlurtAir)
(0^Т1х€Ип’)7<т(0,х)=О’°(х) (хеЯ*), со
для слабо нелинейной параболической системы, содержащей большой параметр СО . Установлена равномерная по ("Ь, X) сходимость при СО-*- +00 решений 'С'о0('Ь,с£) задачи /I/ к решению “О^С^Х) усреднённой задачи Коши
хеТТ), 1Г(0,ос)-и0(х) (хеЯ*).
Здесь Я (Х,<Т) определена формулой
?в°Сх30')= 1ьт Я (’Ь,эс,1Г) А&. /з
Исследование опирается на метод интегральной непрерывности, впервые применённый в работе [10] и развитый в работе [п] для уравнений с ограниченными операторами.
В работах [12,13] была изучена общая начально-краевая задача для квазилинейного параболического уравнения вида
^2т-1,0^-Ь^Т, хеОО /4
в ограниченной области . Установлена сходимость в 1р(£)
норме при любом р>1 , равномерная по'Ьб[0,Т] , нр только решений этой задачи, но и их производных ил<*.ад
вплоть до старшего порядка|}[|-2и1 к соответствующим производным решения усреднённой задачи. Исследование опирается на метод дробных степеней операторов, изложенный в [и]. и метод интегральной непрерывности. Отметим, что [13"] - это первая работа, в которой установлена сходимость старших производных поX.
В работе [кЗ впервые были изучены параболические уравнения, коэффициенты которых при старших производных по X содержат большой множитель при временной переменной. В ней изучена задача Коши для параболического уравнения
Й; ач +^ Щ(оЛ,х)||+а(«л,ж)ичЦ1-1 в ь 4 с-' ъ
п /5
+ |(сО'Ь,я) со*(П.
Установлена сходимость в С([0,Т], Г) её решений к решению усреднённой задачи с помощью методов теории вероятностей.
Систематическое исследование принципа усреднения на временной оси для параболических уравнений, содержащих большой множитель при 3; в коэффициентах при старших производных, было проведено в работах [16,17] /см. также [18]/. В них разработана тео-

§7. Дополнительные оценки гладкости I. Здесь будет продолжено изучение функции Kct#) . Пусть к=1,г,з при 3^*^ . Рассмотрим оператор
5’[Ot1,fti„0t5;A]= 0t, [Л- @tj'etj- eij fr-etj] 10i1. Ш
Будем предполагать, что Q. - функция параметра АбТ со значениями в НотОоД] , и справедлива оценка
Лемма I. функция Kit,XI со значениями в Нот[£,Е] имеет непрерывную производную по % при t >»и справедливы оценки
ЩчГ®llE,f М |t-tf езср {-S'l-t-tl} ,
1W K(t, II JtKewillj fи It-t/'^exp {-ftct-t)}. 15
Доказательство. Как и в §3, рассмотрим функцию /см./3.9// t t
екр{-р|вфА?}-рВ(+)еяр{-р|в(5)Щ} Сро)
и воспользуемся её интегральным представлением /см./ЗЛО/,/3.11
K(t,t;P)=Щ £ехр {-Ар} K(t,t; A) dA,
л -I % -I *
Kct,«;A)={B(i)tA-jB(^ct?]- [а-|В(?)Щ1 ВоьЛи^ВфЩ].
Функция Кда;Я) со значениями в Нот[Е,Е] имеет непрерывную производную по *£ при иЛбЯ , и справедлива формула

K(t/C ;Л1=Вc-fc)[л-^В{|)ot?] {[а-}В(^]вм-Всч[а]в(Д51 }