О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей

• Автор: Аубакиров, Болат Уатаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Алма-Ата
• Количество страниц: 98 c. : ил

Введение.'
§ I. Локальные краевые задачи с отходом от характеристики для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.... 29 § 2. Представление элементов регулярных расширений.
полуминимального оператора і0
§ 3. Описание регулярных расширений.в терминах
. граничных условий
§ 4. Регулярные расширения волнового оператора.в,характеристическом четырехугольнике
§ 5. О регулярности краевой задачи Т для одного
уравнения смешанного типа и представление#ег4,, 77 § 6. Представление элементов регулярных расширений и
описание их.в терминах краевых условий
Литература
- 3 -
Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными.
После известных работ Ф.Трикоми [ij и С.Геллерстедта [2:7, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельного уравнения смешанного типа на плоскости, новым этапом в развитии теории краевых задач для уравнений смешанного типа явились работы советских математиков М.А.Лаврентьева, A.B. Бицадзе [з] , А.В.Бицадзе /4,5/ , Ф.И.Франкля /б,7/ , К.И.Бабенко [ 8^ и других.
В этих работах было указано, что многие весьма важные проблемы газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и других областей сводятся к задаче Трикоми и родственным ей задачам, которые привели к более быстрому развитию теории уравнений смешанного типа.
В настоящее время проблемы уравнений смешанного типа как в силу их теоретической значимости, так и в силу их прикладной важности привлекают большое внимание отечественных и зарубежных математиков. Например, им посвящены работы М.Проттера ] , И.Л.Кароля [ilj, А.М.Нахушева £l2,I3j , М.М.Смирнов Г.Д.Каратопраклиева [ifj, В.П.Диденко [iöj, Т.Ш.Кальменова [17,КП , В.Н.Врагова [19/, Ю.М.Крикунова [20] , Е.И.Моисеева [21,22], С.Н.Пономарева [23J и другие.
В работах, посвященных уравнениям смешанного типа, были изучены в основном краевые задачи в смешанных областях, когда гиперболическая часть области ограничена характеристиками уравнения.
- 4 -
Сравнительно мало работ посвящено выяснению постановки и доказательству корректности поставленных задач для уравнений смешанного типа в случае, когда носителями данных являются граница эллиптической части (Г и некоторая нехарактеристическая дуга, отходящая во внутрь характеристического треугольника в гиперболической части области.
В работах А.В.Бицадзе [5] и Ф.И.Франкля £7} были впервые изучены задачи с данными на отходе от характеристики (задача М), в том частном случае, когда участок нехарактеристической дуги вначале совпадает с характеристикой, а затем отходит от нее во внутрь характеристического треугольника. Задачи с отходом от характеристики исследованы также в работах К.И.Бабенко [б], М.Проттера [9,10] , К.Моравец [2Л] , К.Фридрихса [25]
В вышеуказанных работах вопрос существования и единственности решения задачи существенно связывался с ограничениями на форму границы смешанной области. .Эти ограничения были значительно ослаблены в работах А.В.Бицадзе [2б] , В.В.Ковриж-кина [27], А.П.Солдатова [28,29]
В предлагаемой работе исследуются новые локальные краевые задачи для модельного уравнения смешанного типа (Лаврентьева - Бицадзе) в смешанной области с нехарактеристической границей.
Задача М| (общая смешанная задача) и ей сопряженная задача М* рассмотрены в области с отходом от одной характеристики во внутрь характеристического треугольника, а задача и ей сопряженная - М* в области с отходом от обоих характеристик. Следует отметить, что в задачах Мр М2 и м|>

зс+у
РІ(х+Ю= Т4 к(ш)4л лА Ч^Ц)
Чх*$) %
і ^Члм)^
щ
А ^ х-у
} Н I ишь ,

х-у &(х.-у) №
5 <4 5Ш%іЧ(//й)4,
а(я>$) і а і
а^оа+^1. (2.6)
о < х+^а} ^2.7)
(2.8)
По построению І0С- іу • Покалюм, что с і * Для этого достаточно, при любом фиксированном є$(£м) , ’ пРовеРить
выполнения тождества [и}Ы)6 для всех т/є ]Ч (-Л)
По определению для ~и и ^ существует последовательность є Сг (Л) , удовлетворяющая условиям (1.2) и (1.3) такая,
что ип -*■ 1£, -*^ в (л) . Тогда для любого 1/е}/(л) имеем
(Ц-ь, ^)0 - -гт)0 . Переходя к пределу в этом равенстве,
ПО норме В /2 (_л.) , получим соотношение (^1и)0 ~ 1ґХ
т / _ /7^
Тем самым доказано, что ^д) С и0
При описании регулярных расширений оператора £0 , по общей теории Неймана-Вишика, в качестве фиксированного расширения используем оператор і ук соответствующий задаче Мі
Обозначил Т замыкание оператора (І.І) на подмножестве функций 'иє С^С-П-), удовлетворяющих краевому условию
В силу сильной разрешимости задач и в данном случае справедливы следующие леммы Т.Ш.Кальменова [38J
Лемма 2.3. I* = £ , т.е. %)(£%) -д$)
Лемма 2.4. Если и. £ , то существует последовательность
ф-п) Є иЛ) 0 (-ІV , ]Ь = пи* фф , такая,