Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа

• Автор: Троценко, Галина Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 81 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

ГЛАВА 1. Предварительные сведения

§1.1. Задача Коши для системы функционально - дифференциальных уравнений (ФДУ) нейтрального типа в форме Дж. Хейла. Теорема существования и единственности

§1.2. Почти периодические функции. Критерий предкомпакт-ности Бохнера

§1.3. Теорема М.Г. Крейна об операторном неравенстве в банаховом пространстве с конусом
ГЛАВА 2. Устойчивость решений нелинейных почти периодических систем ФДУ нейтрального типа

§2.1. Постановка задачи. Формулировка основного результата

§2.2. Вспомогательные леммы

§2.3. Обоснование основного результата

ГЛАВА 3. Устойчивость решений линейных почти периодических дифференциально - разностных систем нейтрального типа

§3.1. Признак слабой экспоненциальной устойчивости для линейных дифференциально - разностных систем с почти периодическими коэффициентами
§3.2. Устойчивость линейного почти периодического разностного оператора
§3.3. Распространение результатов §3.1 на системы с устойчивым разностным оператором
§3.4. Устойчивость системы двух осцилляторов Матье
Литература

Введение
1. Разработка методов расчета на устойчивость решений различных классов уравнений (дифференциальных, разностных, дифференциально - разностных, функционально - дифференциальных) с почти периодическими коэффициентами — относительно мало исследованная область теории устойчивости. Если в периодическом случае на основе теории Флоке в работах А.М. Ляпунова, А. Пуанкаре, М.Г. Крейна, В.А. Якубовича и В.М. Старжинского, А. Халаная, Дж. Хейла, М.А. Солдатова, М.И. Каменского, O.P. Германовича и других авторов разработаны эффективные критерии устойчивости и на этой основе решен ряд прикладных задач [1]—[28], то здесь известные до последнего времени результаты относятся главным образом к уравнениям с малым параметром — работы И.З. Штокало, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, В.Н. Фомина, В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова и других [29]—[44].
Некоторое продвижение в этой области произошло в последнее десятилетие. В работах Р.К. Романовского, С.М. Добровольского, A.C. Котюргиной, О.В. Кириченовой [45]-[48] предложен вариант прямого метода Ляпунова для систем дифференциальных и разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами, в котором условие на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с известными результатами для систем указанных классов общего вида (при этом существенна и почти периодичность по времени функции Ляпунова). Полученные на этом пути достаточные условия асимптотической (в линейном случае —

С учетом т}п,5п,еп —> 0 (п —)■ со) получаем: 7„ -> 0 (п -» оо). Применим к неравенству (2.16) теорему 1.2 об операторном неравенстве в пространстве с конусом. Интегральный оператор в правой части (2.16) оставляет инвариантным конус неотрицательных функций в банаховом пространстве непрерывных функций [0, а] —> М и имеет спектральный радиус 0. Поэтому в силу теоремы 1.2 функция £п(£) удовлетворяет оценке
£п(*)<2/п(0> ^е[0,а],
где уп(0 —решение интегрального уравнения

у[1) = 7п + с / 2/(5) <1а.
1 ~ Р ./о
Получаем: при £ € [0,а]
Ш < 7г.ет^‘ ^ 'Упе^1 -> 0 (п -> сю).
Соотношение (2.15) доказано.
2. Повторяя рассуждения пункта 1 с заменой [0, а] на [а, 2а], затем на [2а, За] и так далее, получим требуемое. Лемма доказана.
Лемма 2.5. Если четверка (2.12) удовлетворяет условиям 1°, 2° теоремы, то все четверки !г 6 Н удовлетворяют тем же условиям: V/, ^ 0, 14 (2/г! 0 ^ 0 на каждом существенно ненулевом решении у(1) задачи (2.13) со значениями в шаре ис, е < г.
Доказательство. Сохранение условия 1° очевидно. Проверим сохранение условия 2°. Предположим противное: существуют четверка /г 6 Н и существенно ненулевое решение г/(£) со значениями в шаре ис задачи (2.13) такие, что
14(2/о 0 = сощЬ > 0 при / ^ 0.
(2.17)