Управление асимптотическими инвариантами линейных систем

• Автор: Попова, Светлана Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 264 с.

Список основных обозначений

Глава I. Управляемость и согласованность

§1. Управляемость и равномерная полная управляемость

§2. Согласованность

§3. Следствия для динамической системы сдвигов

§4. Согласованность и управляемость

§5. Коэффициентные признаки согласованности

§6. Метод поворотов Миллионщикова для согласованных

систем

Глава II. Локальная достижимость линейных управляемых систем

§ 7. Метод поворотов и локальная достижимость

линейных однородных систем
§8. Управляемость и достижимость
§9. Локальная достижимость относительно множества
§ 10. Согласованность и достижимость
§11. Некоторые следствия из свойства достижимости
Глава III. Локальная управляемость асимптотических инвариантов
§ 12. Локальная и глобальная управляемость асимптотических
инвариантов
§ 13. Пропорциональная управляемость полного спектра
показателей Ляпунова
§ 14. Одновременная локальная управляемость спектра и коэффициента неправильности Ляпунова правильных систем
§ 15. Расчлененные линейные однородные системы
§ 16. Локальная управляемость показателей Ляпунова
расчлененных систем
§17. Пропорциональная локальная управляемость
показателей Ляпунова двумерных систем
§18. Необходимое условие устойчивости показателей
линейной однородной системы
§19. Необходимость условия равномерной полной управляемости для локальной управляемости показателей Ляпунова
§ 20. Управление показателями Ляпунова
почти периодического уравнения
Глава IV. Глобальная управляемость асимптотических
инвариантов
§21. Глобальная достижимость, глобальная ляпуновская приводимость и глобальная управляемость асимптотических инвариантов
§22. Критерии равномерной полной управляемости
§23. Теорема о глобальной достижимости
§ 24. Глобальная ляпуновская приводимость периодических
систем
§25. Глобальная достижимость двумерных систем
§ 26. Глобальная приводимость линейных управляемых систем к системам скалярного типа. Управление свойствами правильности, приводимости и устойчивости показателей Ляпунова
§ 27. Глобальная управляемость полного спектра
показателей Ляпунова, центральных, особых и экспоненциальных показателей
Список литературы
Список основных обозначений

:= и — : — “равно по определению” (двоеточие — со стороны определяемого объекта).
* — операция транспонирования.
R+ := [0, +оо[.
Шп — евклидово пространство размерности п с каноническим орто-нормированным базисом ei en и нормой ||ж|| = fx*x.
col(ai, «2 ct„) — вектор-столбец с координатами оц, «2,
Mmn — пространство вещественных матриц размерности гпхп со спектральной нормой, т. е. операторной нормой, индуцируемой в М,„„ евклидовыми нормами в Мп и Кт ; М„ := Мпп
В£{Н) = {G £ Мтп : ||G — Я|| ^ е} — шар радиуса е с центром в Я G М„т.
[hi, h2 hn] — т х п -матрица, образованная вектор-столбцами h, h2, ...,hn£ Rra.
Е = [ei,e2,... ,еп] — единичная п х п-матрица.
Sp А — след матрицы А. rank А — ранг матрицы А.
х(А) := ||А|| ||А-11| — спектральное число обусловленности обратимой матрицы А.
' hi] ... hu N
(Н)к = — ведущая главная подматрица порядка к
к к 1 • ■ • hkk J
матрицы Я = {hij}"j=[ € М„
'Ц — {Я £ М„ : det(H)k > 0, к = 1 п} — совокупность всех п X п-магриц, нмегощих положительные ведущие главные миноры.
П{р) {Я еМ„: det(H)k ^ р, к = 1 п}.
П(г, р) := {Я £ ВГ(Е) С Mn : det(Я)* ^ р, к = 1 гг}.
КСтп(1) — множество ограниченных кусочно непрерывных отображений U : I -> Мт„, определенных на промежутке I С К, с равномерной нормой ||Я||с(/) sup{||t7(É)|| : t € /}; ЯС„(7) := ЯСП„(7).
Поэтому, учитывая компактность множества Е = 7(00) ? получаем равенство
inf н°($, т) = min р(д, ст). тел' V ' Доказательство следствия завершается ссылкой на теорему 2.2.
Определение 3.2 [126]. Система (3.1) называется ^-равномерно согласованной, если она равномерно согласованна при ê = д
Следствие 3.2 [126]. Ляпуновское преобразование сохраняет свойство й-равномерной согласованности системы.
Доказательство. Пусть L : R —¥ М„ — матрица Ляпунова. Применим преобразование х — L{t)z к системе (3.1), получим
Z = (IT1 (t)A0(t)L(t) - L~L(t)L(t))z + L~l(t)Bü(t)u,
y = CS(t)x = CS(t)L(t)z, т. e. система (3.1) переходит в систему
z = F0{t)z + Do(t)u, y — Pq (t)z,

F0(t) := L-t)A,(t)L{t) - L~l(t)L{t),
P0(t) :=L*{t)C0(t).
Для каждых i, j,p, s G {1 n} и r € R обозначим
T+Û
7yJW,(i9,r;L)= I e*iDQ(t,T)D^(t,T)eje*pP(t(t,T)^(tiT)esdt,

Г?-( здесь
Do(t,r) = Z0(T,t)D0(t), Po(t,r) = ZÔ(t,T)P0(t),
Z()(t, t) — матрица Коши однородной системы
i = Я0(ОгНетрудно проверить, что
Do(t,r) = L^(T)B0(t,T), Po(t,T) = L*(r)C0(t,r),
поэтому
7&Р.0?,т;L)