Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов

• Автор: Оруджев, Ашраф Давуд оглы
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 131 c. : ил

В В Е Д ГЛАВА I.
§ І.І. § 1.2.
§ 1.3.
§ 1.4.
§ 1.5.
Глава II.
§ 2.1. § 2.2.
ЛИТЕ

2 Н И Е
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОГО КЛАССА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Вспомогательные факты
Построение специальных решений уравнения £(у) ~рту
О фундаментальной системе решений уравнения Р-(^)
Исследование резольвенты и спектра
оператора
Разложение по собственным функциям и
теорема о равносходимости
О ВОЗМУЩЕНИИ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Спектр и резольвента оператора 7”
Разложение по собственным функциям
оператора 7~
Р А Т У Р А

Некоторые воцросы физики, в частности, квантовой механики, теории кристаллов приводят к изучению дифференциальных операторов с периодическими или почти-периодичесними коэффициентами.
Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы с периодическими коэффициентами изучаются давно. В этой теории имеется ряд существенных результатов, которые хорошо изложены в книге Данфорд H., Шварц Дне. [ю] {см.также Титчмарш Э.Ч. [29] ). В настоящее время имеется завершенная теория по исследованию спектра и спектрального разложения самосопряженных операторов с периодическими коэффициентами.
Определенный интерес представляет изучение дифференциальных операторов с комплекснозначными периодическими коэффициентами. Такая задача впервые была поставлена в работе Гельфанда И.М. [9].
Начиная с 60-х годов усилиями Рофе-Векетова Ф.С. [24] , Мак-Гарвея [17,18,19] , Серова М.Н. [27,28] , Гасымова М.Г.
[б,7] , Ткаченко В.И. [зо] , Велиева O.A. [l,5] , Максудова Ф.Г. и Велиева O.A. [l5,Iö] , теория таких операторов значительно продвинулась.
Работы Рофе-Бекетова Ф.С., Мак-Гарвея, Серова М.Н. посвящены изучению спектра несамосопряженных периодических операторов. Разложение по собственным функциям несамосопряженных периодических операторов исследована в работах Гасымова М.Г., Максудова Ф.Г., Велиева O.A. Окончательная формула разложения получена Велиевым O.A. В последние годы сильно возрос интерес к дифференциальным операторам с почти-периодическими коэффициентами. К настоящему времени существует серия работ посвященных изуче-

нию почти-периодических операторов. В этом направлении можно
[20] , Чулаевского В.А. [32] , /v-'LOh У ; Sifnoh [l,2] &<г££с$аъс1 y.Qhol Simon ß [з] , Moszt У [21]
альные операторы в частных производных. Следует отметить, что в перечисленных работах рассмотрены разные классы самосопряженных почти-периодических операторов второго порядка; при этом в основном исследуется структура спектра в случаях, когда коэффициенты оператора имеют специальный вид. Пока при более общих предположениях относительно коэффициентов дифференциального оператора не удается изучить структуру спектра.
В данной диссертационной работе впервые изучается класс несамосопряженных дифференциальных операторов с почти-периодичес-кими коэффициентами, а также исследуется спектральные свойства возмущения периодических операторов из рассматриваемого класса.
Передем к краткому изложению содержания диссертации, состоящей из двух глав.
В главе I изучается дифференциальный оператор [_ , порожденный выражением
указать работы Динабург Е.И., Синай Я.Г. [il] , Марченко A.B.
Шубиным М.А. рассмотрены [зз] почти-периодические дифференцив пространстве (-00,00) , где
(I)

типа(І.2.І). По теореме 1.2.1 оно имеет решение Ч?Сзс,р) , представимое в виде (1.4.7), при этом ряд (1.4.9) сходится. Отсюда вытекает, что функции £ = 0,4, ...,/71-1 прир=£-Д^
составляют фундаментальную систему решений уравнения (1.4.8) и поэтому Т0(зс,р) можно представить в виде линейной комбинации этих решений. Из вида Ч?Сзс,рй)^') 9> = 0,4, ґп-і иТа(зрр) следует, что ^Сх,р) - Т0 (ЗС,р) . Заметим, также следующее свойство функций , которое вытекает из теоремы 1.3.1:
Lp .DC ф ,
ФН;(Х)= в = С^-) (1-4.10)
а £>=П ;АУ
Продолжая вычисления, из (1.4.3) и (1.4.5) находим:
УП-І

y(x’f>= И cs(^^cx,f^cos)
С S=° х (1.4.II)
-+ II fa’fVs) jva.pvovmcl*,
где Ср) - произвольные функции ОТ р.
Для определения Cs (р-) S-0,4, . .. , tm-1 рассмотрим
случай четного и нечетного In в отдельности.
I. Пусть Пп
_. Очевидно, ЧТО если Р •<, И
рє& = {^ ;СК0^2], то
^(>,pws')€Z2 (о,^.) ) ^(х,ри)і)([гС-о=,о)при
-fcx^as)£L2C-^,o-)r4>(x,pcos-)eL2(o,^) при
Учитывая эти свойства и ^(Х,р) £ [Д-оо,оо') , из (1.4.II) находим, что для финитных ФСоОЄ /_ (-Сю , ooj

і.