Задача Дирихле для нагруженных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области

• Автор: Мелишева, Екатерина Петровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 93 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного

типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе

§ 1.1. Задача Дирихле для нагруженного уравнения Лаврентьева-Бицадзе

1.1.1. Постановка задачи. Единственность решения

1.1.2. Обоснование существования решения задачи

1.1.3. Устойчивость решения

§ 1.2. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе

1.2.1. Постановка задачи. Единственность решения

1.2.2. Обоснование существования решения задачи

1.2.3. Устойчивость решения
Глава 2. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного
типа со степенным вырождением
§ 2.1. Постановка задачи. Единственность решения
§ 2.2. Существование решения
§ 2.3. Устойчивость решения
Библиографический список

Введение
В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их важными практическими приложениями.
Простейшим уравнением смешанного эллиптико-гиперболического типа на плоскости является уравнение
yUxx “Ь Щ/у = О,
для которого известной краевой задачей является задача Трикоми. Она впервые была решена самим Ф. Трикоми [67] в 20-е годы XX века. Результаты, полученные Ф. Трикоми, были развиты С. Геллерстедтом [85] для уравнения
у2т+1ихх + иуу = 0, т е N U {0}.
Затем Ф. И. Франкль [70] впервые обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газовой динамике. И. Н. Векуа [13] указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.
А. В. Бицадзе [6] впервые сформулировал принцип экстремума задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева М. А.
ихх +sgny ■ иуу = 0. (1)
Позднее он был установлен для других уравнений смешанного типа и других краевых задач.
Дальнейшим развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались К.И. Бабенко [2], Л. Берс [4], A.B. Бицадзе [8, 10],
В.Ф.Волкодавов [14], В.Н. Врагов [15, 16], Т.Д. Джураев [19], В.И. Жега-лов [20, 21], А.Н. Зарубин [23], Н.Ю. Капустин [27], Г.Д. Каратопраклиев [28], И.Л. Кароль [29], Ю.М. Крикунов [32], А.Г. Кузьмин [33], O.A. Ладыженская [34], Е.И. Моисеев [36], А.М. Нахушев [41], L. Nirenberg [42], Н.Б. Плещинский [43], С.П. Пулькин [44], O.A. Репин [46], К.Б. Сабитов [47], М.С. Салахитдинов [58], М.М. Смирнов [60], А.П. Солдатов [61, 62], Ф.И. Франкль [71, 72], P.C. Хайруллин [74], М.М. Хачев [76, 77], C.S. Morawetz
[90], M.N. Prottcr [91, 92] и многие другие. В работах этих авторов помимо задач Трикоми и Геллерстедта поставлены и исследованы новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.
Первые работы по нагруженным уравнениям были посвящены нагруженным интегральным уравнениям. Здесь отметим исследования A.Kneser [88], L.Lichtenstein [89], а также более поздние, W.Gibson [86], J.Groh [87] и других.
Нагруженные дифференциальные и иитегро-дифференциальные уравнения рассматривали в своих работах Н.Н.Кочина [31], Нахушев А.М. [39]-[41], Кожанов А.И. [30], Пулькина J1.C. [45] и другие.
Работы А.М.Нахушева [39]-[41] и его учеников [11, 18, 19, 24, 25, 26) дали начало интенсивному и систематическому изучению краевых задач для уравнений вида
Ки = Lu(x, у) + Ми(х, у) = /(ж, у) (2)
в области 12 С К2, где L - дифференциальный оператор, а М - дифференциальный или интегро-дифференциальный оператор, включающий операцию взятия следа от искомой функции и(х, у) на многообразиях из замыкания О размерности строго меньше 2. В их работах исследовались вопросы существования и единственности решения уравнения (2) в классических областях 12, т.е. в областях, у которых гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник. Для примера рассмотрим работы [41], [26].
А.М. Нахушев [41, с. 165] рассмотрел нелокальную задачу для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа
Lu _ Г ихх-иу- А+и(х, 0) = 0, у > 0,
У'хх 'У'уу ^ 'и(ж, 0) 0, у 0,
в области 12 , ограниченной отрезками АС : х + у — 0, 0 < ж < г/2; ВС : х — у = г, г/2 < х < г; AAq : х — 0, 0 < у < /г,; ВВ0 : х — г, 0 < у < /г; А0В0 : у = h, 0 < х < г.
Задача. Найти регулярное в областях 12+ и 12“ решение и(х, у) уравнения (3) из класса С1 (12) П (7(12), удовлетворяющее условию
и(гу) = щ(у), и(т + iy) = <рг{у), 0 <у и граничному условию на характеристике АС:
и [©о(ж)] = A~D~£/2u(t) + ф(х), 0 < х < г,
где <ро(у) и <Рг{у) — заданные непрерывные на сегменте [0,/i] функции, а ©о(ж) = х{1 — г)/2, ф(х) - заданная функция из класса С2 (1Г) ,

А^ур (к) < 1хк\С\сЬ.'пк((3 — у) [ бИтгЫсИ+

— сЬ тгк(/3 — у) — сЬ7г&у] = ЦС1Ц [сптк(3 + сЪлтк(Р — 2у) — — сптк(Р — у) — сЪ.'кку] < ЦСхЦе71*^,
(1.82)
(1.83)
Тогда из равенства (1-71) на основании оценок (1.40) и (1.80) - (1.83), убеждаемся в справедливости оценки (1.63). Из тождества (1.72) и оценки (1.62) следует (1.64).
Лемма 1Л.4. Пусть выполнена оценка (1-49) при всех к > 1. Тогда при любом у € [—а, р] справедливы оценки:
Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 1.1.3. В этом случае Дх(А;) оценивается снизу неравенством (1.49). Оценки (1.84) - (1.86) получаются из соответствующих оценок (1.62) - (1.64) умножением на к их правых частей, но с другими постоянными.
Формально из (1.39) почленным дифференцированием составим ряды:
IЩ (у)| < Мпк(узк + фк),
ик (у) I < Мик2 (|^| + фк), ик{у) | < Мщк3 ((рк + фк).
(1.84)
(1.85)
(1.86)
(1.87)
(1.88)

(1.89)