Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциалов

• Автор: Нигмедзянова, Айгуль Махмутовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 152 с.

Глава 1.Краевые задачи для одного вырождающегося эллиптического уравнения

§1 Формулы Грина .

§2 Фундаментальное решение

§3. Интегральное представление

§4 Свойства решений уравнения

Посмновка краевых задач Дирихле и Неймана Теоремы единственности

§6 Потенциалы прос юю и двойного слоев и их свойства

§7. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям

теории )Ю1енциала

Глава 2.Краевые задачи для вырождающегося эллиптического уравнения первого рода

§1. Фундаментальное решение

§2. Формулы Грина
§3 Интегральное представление
§4 Свой< 1ва решений уравнения .
§5. Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы един01 венной и . . .

^6. Потенциалы просюю и двойною слоев и их свойства
§7. Сведение 'задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям
теории потенциала
Глава 3. Краевые задачи для самосопряженного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода
§1. Формулы Грина
§2. Фундаментальное решение
§3. Интегральное предз заиление . .
§4. Свойства решений уравнения
§5 Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности
§6 Потенциалы простою и двойного слоев и их свойства
§7 Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям
теории потенциала
Глава 4.Краевые задачи для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода
§1. Фундаментальное решение
§2 Формулы Грина
§3. Интегральное иредс тавление
§4. Свойства решений уравнения
§5 Постановка краевых задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности
§6 Потенциалы простого и двойного слоев и их свойства
§7 Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям
теории потенциала
Литература

Вырождающиеся эллиншческие уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными Краевые задачи для таких уравнений обладают той особенностью, чю иногда на границе области, где происходит вырождение, граничное условие не ставится или граничное условие ставится с некоторой весовой функцией. Необходимость изучения таких уравнений обусловлена многочисленными их приложениями в газовой динамике, теории оболочек, теории упрут0С1И, механике сплошной среды и др
Кроме того, вырождающиеся эллиптические уравнения встречаются в теории фильтрации при исследовании процессов переноса массы через неоднородные пористые пласты [7], [21], [28], а также в современной космологии при рассмотрении ■жкнических состоянии материи [00].
Число опубликованных работ по вырождающимся эллиптическим уравнениям весьма значительно. В Э1их исследованиях рассматривались вырождающиеся эллиптические уравнения первою рода (см., например, М. М. Смирнов [67]—[71], А. В. Бицадзе [5], И Н Векуа [9], Л. С Парасюк [03] и т.д.). Что касается вырождающихся эллиптических уравнений второго рода, то к числу первых в этом направлении относится работа М. В. Келдыша (1951) [26], где впервые указаны случаи, когда характеристическая часть границы области может освобождаться 01 граничных условий и заменяться условием 01 раниченности решения Позже А В. Бицадзе в работе [5] указал, что условие ограниченности может быть заменено граничным условием с некоторой весовой функцией.
Первые работы по вырождающимся эллиптическим уравнениям отно-

Пусть д(£) - ненулевое решение э і ого уравнения Тогда функция
!/(*)

2пп-(р - 2)
(1.71)
удовлетворяет условиям (1.43) — (1.46) внешней задачи Неймана и граничному условию Аах[и(х) = 0, т.е.
Ф), г(1)
А»№01
Ф)Ас

с/Г = 0.
(1 72)
По теореме 1 5 о единственности внешней задачи Д
11 (х) = 0, х Е Д.
Так как потенциал простого слоя есть непрерывная функция во всем полу-простране 1ве (1еорема 1 7), то
[/(ж) = 0, ж Є Г.
(1.73)
Рассмотрим теперь потенциал [/(ж) в области В этой области функция {/(ж) удовлетворяв) условиям (1 30) — (1.32) задачи Див силу (1.73) обращается в нуль на границе Г. По теореме 1 2 о единственности задачи Д
Тогда
и(х) = 0, ж Є И.
2 2172 (р — 2)

с/Г = 0.
(1.74)
Вычитая из равенства (1.74) равенство (1.72), получаем
ц(£) = 0, х е П.
Таким образом, однородное интегральное уравнение (1.70) имеет только тривиальное решение В силу альтернативы Фредгольма, интегральное уравнение (1.69) задачи Д однозначно разрешимо для любой функции