Приложение обобщенной производной Шварца к исследованию бифуркаций потери устойчивости

• Автор: Якушкин, Николай Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Обнинск
• Количество страниц: 95 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНЬЯ
1Л Спектры матриц, тензоры, струи
1.2 Векторные поля. Основные определения, основы качественной теории, нормальные формы и ляпуновские величины, теория бифуркаций,
теория бифуркаций, Локализация предельных циклов
1.3 Отображения. Основные определения, теория бифуркаций
ГЛАВА 2 ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ШВАРЦА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
2.1 Вычисление обобщенной производной Шварца для отображений, для
векторных полей, для периодической траектории векторного поля
2.2 Теория бифуркаций
ГЛАВА 3 ПРИМЕРЫ
3.1 Исследование бифуркационной границы в точечной модели ксеноновых колебаний и в модели рыночной экономики
3. 3 Исследование бифуркации Андронова- Хопфа в системе Лоренца
3.4 Исследование бифуркации удвоения периода предельного цикла для
системы Лоренца
3.5 Исследование бифуркации удвоения периода предельного цикла
в системе Шимицу-Мориоко
3.6 Исследование бифуркации рождения инвариантного тора в системе
Хаяши-Каваками
3.7 Исследование бифуркации рождения инвариантного тора в системе
двух связанных осцилляторов Ван дер Поля
3.8 Исследование бифуркации удвоения периода неподвижнойточки отображения Эно
3.8.1 Вычисление обобщенной производной Шварца
3.8.2 Вычисление первой ляпуновской величины
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена приложению обобщенной производной Шварца к решению задач о мягкости или жесткости бифуркаций Андронова-Хопфа, удвоения периода предельного цикла, рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла для семейств векторных полей, а также бифуркаций удвоения периода неподвижной точки и рождения инвариантной окружности из неустойчивой неподвижной точки для семейств отображений.
Современная теория устойчивости как раздел теории дифференциальных уравнений восходит к вышедшей в 1892 году работе А.М. Ляпунова «Об устойчивости движе-ния»[36], хотя отдельные вопросы разбирались и ранее. В этой работе А.М. Ляпунов сформулировал определение устойчивости решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и критерий устойчивости неподвижной точки ОДУ в терминах собственных значений матрицы соответствующего линеаризованного уравнения в окрестности неподвижной точки. В настоящее время этот критерий хорошо известен[13,27]: неподвижная точка ОДУ устойчива, если все собственные значения матрицы соответствующего линеаризованного уравнения имеют отрицательные вещественные части. Менее известны выводы второй части этой работы, в которой рассматривается задача об устойчивости неподвижной точки ОДУ с матрицей соответствующего линеаризованного уравнения, имеющей нулевые или чисто мнимые собственные значения. Для решения некоторых наиболее важных случаев этой задачи А.М. Ляпунов предложил алгоритмы вычисления некоторых величин (которые в настоящее время называются ляпуновскими величинами). Если первая отличная от нуля ляпуновская величина отрицательна, то неподвижная точка устойчива, а если положительна, - то неустойчива. В настоящее время хорошо известно, что ляпуновские величины равны вещественным частям соответствующих коэффициентов нормальной формы Пуанкаре-Дюлака [9,12,30].
Термин «бифуркация» впервые появился в работах А.Пуанкаре. Бифуркацией в данных работах называется скачкообразное изменение качественной картины поведения решений ОДУ при изменении параметра. Значение параметра называется бифуркацион-
ным, если существует качественное различие в поведении траекторий при значениях параметра с разных сторон от данного значения.
Выступая на проходившей в 1931 году в СССР конференции по колебаниям с докладом «Математические проблемы автоколебаний», A.A. Андронов [1] рассмотрел бифуркацию рождения предельного цикла из неустойчивого фокуса в однопараметрическом семействе векторных полей определенных в R2. В своем докладе A.A. Андронов показал, что рассматриваемая бифуркация может быть мягкой или жесткой, а решение задачи о мягкости или жесткости данной бифуркации сводится к исследованию устойчивости фокуса при бифуркационном значении параметра. Данное исследование состоит в вычислении соответствующих ляпуновских величин. Эгот и некоторые смежные результаты изложены в книге A.A. Андронова, A.A. Витта, С.Э.Хайкина [2], в статье H.H. Баутина [19], а также в книгах Р. Беллмана [22], Ж. Йосса, Д. Джозефа[31] и в обзоре [12].
В 1941 году ученик A.A. Андронова H.H. Баутин защитил диссертацию, в которой предложил явные формулы первой ляпуновской величины для некоторых классов полиномиальных векторных полей. Данные формулы громоздки, и в некоторых из них впоследствии были обнаружены ошибки.
В своей вышедшей в 1942 году работе Э. Хопф [84] обобщил результаты A.A. Андронова, относящееся к бифуркации рождения предельного цикла из неустойчивого фокуса, на случай семейств векторных полей, определенных в Rn .Сформулировал и доказал основные теоремы, описывающие данную бифуркацию. Тем самым, математический аппарат, связанный с данной бифуркацией (называемой в настоящее время бифуркацией Андронова-Хопфа), обрел современный вид.
Пусть те Rn,pe R, /р(х)
У4пх)
однопараметрическое семейство опреде-
ленных в Кп гладких векторных полей, обладающих неподвижной точкой ха(р). Если существует значение р0е1 такое, что спектр К(/?)

ГЛАВА
ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ШВАРЦА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
В данной главе рассмотрены определение, свойства и приложения к решению задач теории бифуркаций обобщенной производной Шварца для векторных полей и диффеоморфизмов определенных в Кп [49,50,64].
2.1 Определение обобщенной производной Шварца для диффеорфизма
Пусть - диффеоморфизм отображающий область С/, с Я" в область Ъ_ с К" . Для заданной точки х е С/, и заданной струи J - (Ь,В) в точке у = Ч'(х) определим струю
Для произвольного вектора о определим величину тензорного вида:
Г(и) = и ® и ® и ® и + и ® и ® и ® и + +и ® и ® и ® + и ® и ® и ® о:
Тогда обобщенная производная Шварца р диффеоморфизма Т, вычисленная в точке х относительно струи J и вектора и, определяется следующим образом:
такую, что / = , а также величины тензорного вида
(2.1)