Особенности оптимизации циклических процессов при наличии дисконтирования

• Автор: Шуткина, Татьяна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 61 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Усредненные циклические процессы с дисконтированием
1.1. Модель циклического процесса
1.2. Переформулировка проблемы
1.3. Теорема существования и условие оптимальности
1.4. Сбалансированность оптимального цикла
1.5. Монотонность периода
1.6. Дифференцируемость усредненной выгоды
1.7. Единственность оптимального цикла
1.8. Теоремы существования и единственности оптимального цикла с дисконтированием по доходу и прилагаемым усилиям
1.9. Теорема единственности оптимального цикла с двумя показателями дисконтирования
1.10. Алгоритм построения численного решения
2. Классификация типичных особенностей усредненной выгоды циклических процессов с дисконтированием
2.1. Теорема о классификации особенностей
2.2. Гладкое изменение точек переключения
2.3. Доказательство теоремы о классификации особенностей
Список литературы

Введение
Немало естественных процессов, происходящих вокруг нас, имеют циклический характер по своей природе или являются таковыми в силу нашего управления ими. Например, цикличность легко обнаружить в ряде технологических и экономических процессов, в сосуществовании двух видов и во многих других явлениях различной природы [20]. При наличии возможности управлять таким процессом возникает задача выбора цикла, доставляющего наилучшее возможное значение выбранного критерия качества.
В силу понятной прикладной значимости результатов в такой задаче, анализ и оптимизация различных моделей циклических процессов проводились многими авторами с использованием различных методов [14], [15], [26], [27]. В.И.Арнольд для анализа таких процессов предложил использовать методы теории особенностей [2], [3]. В рамках этого подхода для однопараметрических циклических процессов без дисконтирования были изучены типичные особенности средней временной выгоды [8], оптимальных стационарных стратегий и переходов от них к циклическим [23], стационарных стратегий в двух и трехпараметрическом случаях и получен ряд других интересных результатов [28].
Циклический процесс моделируется управляемой системой на окружности, задаваемой полем скоростей V, гладко зависящим от точки х окружности и управляющего параметра. Предполагается, что этот параметр пробегает гладкое компактное многообразие (или дизъюнктное объединение таковых) и принимает не менее двух различных значений, а все допустимые скорости положительные, то есть V > 0.
Допустимым движением системы называется абсолютно непрерывное отображение ж : I—5- а;Ц) промежутка временной оси в фазовое прост-

ранство, в точках дифференцируемости которого его производная лежит в выпуклой оболочке множества допустимых скоростей соответствующей точки.
Цикл с периодом Т, Т > 0, - это допустимое движение X, ж(£ + Т) = хЦ). При наличии непрерывной плотности выгоды / на окружности выбор циклического процесса с максимальной средней временной выгодой за один оборот
является одной из важных задач оптимального управления. В.И. Арнольд показал, что при разумных предположениях о системе и плотности выгоды такой цикл существует, а соответствующее ему движение устроено просто - оно использует максимальные и минимальные допустимые скорости скорости на участках, где плотность выгоды меньше либо больше максимальной средней временной выгоды за цикл [3], [8]. В диссертации, аналогичный результат получен для циклов при наличии дисконтирова-ния.
Следуя В.И. Арнольду [3], используя положительность допустимых скоростей, задачу можно переписать в виде
где а - показатель.дисконтирования и для допустимого движения х,х — хЦ), плотность р задается как р{х(Ц) = 1/хЦ) всюду, где производная ж(£) определена, то есть почти всюду на окружности, а в остальных точках эта плотность может быть взята любой допустимой. Здесь 0 и 2я -это начальная и конечная точки цикла, соответственно. В такой формулировке задачи необходимо найти измеримую плотность р, доставляющую

величину h на нем. Легко заметить, что для плотностей р и р соответствующие периоды движения вдоль цикла равны:
f2lr -0f p(z)dz
Т,= е 0 p(x)dx Jo
~ ~Pf p(z)dz fZlx -p]p{z)dz
T = T + hue 0 — phu e 0 p(x)dy +

Разницу Ap(f) — Ap(f) последовательно вычислим по частям на отрезках [О, ж], [ж, х + и], и [ж + и, 2тг], соответственно.
На отрезке [0, ж] имеем

* —а Г p(z)dz в —а Г p(z)dz
/е 0 f(y)p{y)dy /е о f{y)p{y)dy

-Pjp(z)dz 2п —/?/ p{z)dz Т
Т + hue 0 — Phu Jx е 0 p[x)dy
fa г2тг —PJp(z)dz ~pfp(z)dz ® -a f p{z)dz
U (PJx e 0 PV)dy-e 0 )Je 0 f{y)p{y)dx
= x 2 +

на отрезке [ж, ж + и получаем
ж+1/ —a f(p(z)+h)dz , —(г [ p(z)dz
S е ° f{y){p{y) + h)dy f е ° f(x)p(x)dx

_ , —Pjp(z)dz ~Pfp(z)dz Т
Т + £и/е 0 — phu fx е 0 +

/цу —afp(z)dz
= ухе ° /(ж) + . ,
и, наконец, вычисления на отрезке [ж + и, 2л] дают
Ц ~а f p{z)dz+hu 2тг _(Т Г n(z)dz
/ е о f(y)p(y)dy $ е о f{y)p(y)dy
X+V X+V
Т + 1ьие~х — рки e~fs‘t‘(y')p(y)dy + ...

2тг -а [ o(z)dz
(-сгТ + /3 // е-Му)р[у№ - е_г)) / е о 1(у)р(у)(1у

где многоточием обозначены слагаемые более высокого порядка по /г и гл