Методы усреднения задач диффузии и конвекции примесей в пороупругих средах

• Автор: Зимин, Решат Нариманович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 138 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
Глава 2. Математические модели диффузии и конвекции примесей в абсолютно твердом скелете
2.1 Постановка задачи и основные результаты
2.2 Доказательство Теоремы 2.
2.3 Доказательство Теоремы 2.
2.4 Доказательство Теоремы 2.
2.5 Доказательство Теоремы 2.
Глава 3. Математические модели диффузии - конвекции
в пороупругой среде
3.1 Постановка задачи
3.2 Основные результаты
3.3 Доказательство Теоремы 3.
3.4 Доказательство Теоремы 3.
3.5 Доказательство Теоремы 3.
3.6 Доказательство Теоремы 3.
Литература

Введение
Настоящая диссертация посвящена получению методами усреднения новых математических моделей, описывающих процессы диффузии и конвекции примесей в пороупругой среде. Такая среда состоит из твердого скелета, перфорированного порами, и жидкости в порах. В работе был получен набор математических моделей, учитывающих характеристики не только жидкости, несущей примеси, но и твердого скелета, а также влияние примеси на реологические свойства жидкости (зависимость вязкости или плотности жидкости от концентрации примеси).
Уравнения пороупругости, полученные К. фон Терцаги ([73]) и М. Био ([16], [17], [18]) долгое время являлись общепринятыми и служили основой для решения практических задач пороупругости. Эти уравнения учитывают перемещение не только жидкости в порах, но и твердого скелета. Предлагаемые К. фон Терцаги и М. Био модели называют феноменологическими: в них постулируются свойства смеси твердой и жидкой компонент. Позже, ряд авторов (Р. Барридж и Дж. Келлер [28], Э. Санчес-Паленсия [71], Т. Леви [55], [58]) предложили вывод уравнений пороупругости на основе основных законов механики сплошных сред и методов усреднения. Это было вполне естественно, сначала, описать совместное движение упругого скелета и жидкости в порах на микроскопическом уровне, используя классические законы механики сплошных сред, а затем найти соответствующие аппроксимирующие модели с помощью теории усреднения (усредненные уравнения).
Согласно [71], различные задачи механики сильно неоднородных сред и композитных материалов приводят к необходимости построения усредненных моделей для этих сред. Требуется построить модель среды, ло-

кальные свойства которой резко меняются, и поэтому удобнее перейти от микроскопического ее описания к макроскопическому, т.е. рассматривать усредненные характеристики такой среды. Во многих случаях рассматриваемые физические процессы в сильно неоднородных средах описываются уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к дифференциальным уравнениям с резко изменяющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости и гидродинамике, в теории гетерогенных сред и композитных материалов, теории фильтрации и других задачах физики и механики. Непосредственное численное решение таких задач, как правило, затруднительно даже на современных ЭВМ. Поэтому возникает вопрос о построении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые называются усредненными. Часто такие дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты. Усредненные уравнения позволяют определить с большой точностью эффективные характеристики первоначальной среды. Это условие обеспечивается основным требованием, которому должны удовлетворять усредненные уравнения - близость решений соответствующих краевых задач для исходных и усредненных уравнений. Математическое описание сильно неоднородных сред часто основано на предположении о наличии у таких сред какой-либо упорядоченной микроструктуры (например, периодической, квазипериодической, случайной однородной и др.) Если масштаб неоднородности среды имеет порядок е, то среда описывается дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых в зависимости от характера микроструктуры среды является периодическими, квазипериодическими, реализацией однородного случайного поля и др. Требуется определить поведение при е —> 0 ре-

1.2 Пространство Ш2 т и его свойства
Пусть 1 < р < оо, т - целое и т > 0. Каждый элемент V 6 1у(Г2) опре-

деляет элемент из (иу* (П))' с помощью Ьу(и) = (и, и) для которого = |(м, 'У)I ^ 1МЫМ1р ^ И^Ир'||^||т,р>

{u,v} = / u(x)v(x)dx

для всех функций и, и для которых правая часть имеет смысл. Для данного р, р' определяется следующим образом:
00 при р = 1 р/(р— 1) при 1 < р < оо
1 при р = оо.
(—т,р') - норма для v G Zy(fi), будет норма Lv, определенная следующим образом
IMI-m,p' = WLv (Wj? (ty)'\ = sup |(li, и)I,
uGW, ||u||m,p где в правой части для простоты записи под W мы подразумеваем W? (П) (см. [91], [3]).
1.3 Теоремы о компактности
Теорема 1.1 (Реллиха). Пусть Q - ограниченная область с достаточно

гладкой границей. Тогда И/21(П) вкладывается в Ь2(П) компактно. Доказательство приведено в [89, с.64].

Кроме того, известно, что W2{0) С L2(Q) С (И^1 (П))* (см. [90, с.18]).