Эллиптические задачи с нелокальными краевыми условиями и полугруппы Феллера

• Автор: Гуревич, Павел Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 290 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава I. Нелокальные эллиптические задачи с нелинейными преобразованиями переменных
1. Некоторые определения и результаты из теории линейных операторов. Функциональные пространства

2. Постановка задачи в ограниченной области

3. Нелинейные преобразования вблизи начала координат

4. Фредгольмова разрешимость нелокальных задач и устойчивость индекса

Глава II. Сильные решения нелокальных эллиптических задач в плоских углах в пространствах Соболева

5. Функциональные пространства

6. Постановка нелокальной задачи в ограниченной области

7. Нелокальные задачи в плоских углах в пространствах Соболева

Глава III. Сильные решения нелокальных эллиптических задач в
ограниченной области в пространствах Соболева
8. Отсутствие собственных значений оператора £(А) на прямой
1т А = 1 —
9. Нелокальные задачи в весовых пространствах с малым показателем веса
10. Правильное собственное значение оператора £(А) на прямой

11. Нелокальные задачи с однородными нелокальными условиями
12. Примеры

Глава IV. Обобщенные решения нелокальных эллиптических задач
13. Обобщенные решения нелокальных задач
14. Фредгольмова разрешимость нелокальных задач
15. Устойчивость индекса при возмущении дифференциального оператора младшими членами
16. Устойчивость индекса при возмущении нелокальных условий
17. Неустойчивость индекса
Глава V. Гладкость обобщенных решений нелокальных эллиптических задач
18. Сохранение гладкости обобщенных решений
19. «Пограничный» случай. Условия согласования
20. Нелокальные условия специального вида. Регулярные и нулевые правые части
21. Нарушение гладкости обобщенных решений
22. Пример
Глава VI. Полугруппы Феллера и двумерные диффузионные процессы
23. Нелокальные задачи в пространствах непрерывных функций
24. Ограниченные возмущения диффузионных процессов
25. Неограниченные возмущения диффузионных процессов
26. Несуществование полугрупп Феллера
Литература

Введение
Актуальность темы
Настоящая диссертация посвящена следующим взаимосвязанным вопросам: разрешимости и гладкости решений эллиптических уравнений с нелокальными краевыми условиями и существованию полугрупп Феллера, возникающих в теории многомерных диффузионных процессов.
Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, возникающими в гидродинамике, рассматривал еще А. Зоммерфельд [101]. Впоследствии одномерные нелокальные задачи изучали В. А. Ильин [29],
В. А. Ильин и Е. М, Моисеев [30], А. Крол [90], М. Пиконе [92], А. Л. Ску-бачевский [99], Я. Д. Тамаркин [68], А. А. Шкаликов [69] и др.
В 1932 г. Т. Карлеман [76] рассмотрел задачу о нахождении голоморфной функции в ограниченной области С?, удовлетворяющей следующему условию: значение неизвестной функции в точке у границы связано со значением в каждой точке П(у), где П : <967 —> дв — гладкое невырожденное преобразование, С1(П(у)) = у, у е д67. В работе [76] эта задача сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом. С такой постановкой задачи связаны дальнейшие исследования сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, отображающим границу области на себя и порождающим конечную группу (подробную библиографию можно найти, например, в книге Н. И. Му-схелишвили [44]), а также работы, в которых изучаются эллиптические уравнения, содержащие сдвиг области на себя (см. монографию А. Б. Антоневича и
А. В. Лебедева [71]). Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными краевыми условиями изучались в работах Р. Билза [72], Ф. Браудера [73], М. И. Вишика [7], М. Шехтера [95]. При этом на абстрактные операторы налагались условия, гарантирующие выполнение неравенства коэрцитивности. В ряде случаев накладывались ограничения на сопряженный оператор.
В 1969г. А. В. Бицадзе и А. А. Самарский [5] рассмотрели принципиаль-

Из (3.4) и (3.5) вытекает, что г ф 0 при г д поэтому достаточно доказать, что
(г-1)! Ск.
Но — бесконечно гладкое при г д преобразование, и так как Г2СТ(0) = 0, то 0,а = 0(г). Следовательно, |г—1Г2СГ| < с. Теперь требуемое утверждение следует из леммы 3.1.
Похожим образом доказывается и второе неравенство в (3.3). Из (3.1) и (3.7) следует соотношение
•Я<г(г-)

г®., 2Е г2

В силу (3.4) и (3.5) имеем (П)2/г 0 при г д; следовательно, достаточно

показать, что

< с*.
Но X №)2 бесконечно гладкая при г е функция, и так как По-(О) = О,

то (ст)2 = 0(г2). Следовательно,

утверждение следует из леммы 3.1.
Е (К?/г2

с, и вновь необходимое

Обозначим 6 = гшп(—шо)/2. Пусть д настолько мало, что
|ФСТ| < 6/2, Хстг/2 при г < д/с1г. (3.8)
Существование такого д вытекает из леммы 3.2.
Введем бесконечно дифференцируемые функции Сг() и Сстг(ш), г = 0, . , 4, такие, что
(3.9)
Єі(иО = 1 ДЛЯ И < 6/2г+1, СіМ = о для ш 6/2г Ссті(ш) = Сг(ш Лг)-
Очевидно С<ті(ш) = 1 ДЛЯ |<Д ~ ст| 6/2і+1 И Сстг(ш) = 0 для ш — и>а <5/2*.
Рассмотрим преобразование £1<г{у), действующее в полярных координатах по формуле
(ш, г) <-> (ш - ша + ФДг), + К{г)). (3.10)
В силу леммы 3.2 имеем Сі{у) = 0,а{у)уе поэтому в дальнейшем будем считать, что преобразование <Фа(у) задается формулой (3.10). Теперь Пст(у),