Существование и устойчивость решений краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями

• Автор: Лепчинский, Михаил Германович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 124 с.

1 Предварительные сведения
1.1 Функциональные пространства
1.1.1 Пространства Соболева
1.1.2 Теоремы вложения
1.1.3 Пространства Бесова
1.2 Эллиптические краевые задачи
1.2.1 Разрешимость основных эллиптических краевых
задач
1.2.2 Нелинейные эллиптические краевые задачи
2 Теоремы существования решений для краевых эллиптических задач
2.1 Основной аппарат вариационного метода.
Реализация вариационного подхода для нелинейных эллиптических задач
2.2 Теоремы существования и регулярности решений для уравнений с разрывными нелинейностями
> 2.3 Доказательство основных результатов
2.3.1 Доказательство теоремы 2.2
2.3.2 Доказательство теоремы 2.2
2.3.3 Доказательство теоремы 2.2

2.3.4 Доказательство предложения 2.2
3 Правильные решения и устойчивость множеств решений краевых эллиптических задач с разрывными нелинейностями
3.1 Правильные решения краевых эллиптических задач с разрывными нелинейностями
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Формулировка основных результатов о правильных решениях
3.1.3 Доказательство предложения 3.1
3.1.4 Доказательство предложения 3.1
3.1.5 Доказательство теоремы 3.1
3.1.6 Доказательство теоремы 3.1
3.2 Устойчивость множеств решений эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями
3.2.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов
3.2.2 Доказательство теоремы 3.2
3.2.3 Доказательство следствий из теоремы 3.2
4 Краевые эллиптические задачи с параметрами
4.1 Нелинейные краевые эллиптические задачи на собственные значения
4.1.1 Постановка задачи и основные результаты
4.1.2 Доказательство результатов
4.2 Нелинейные краевые эллиптические задачи с распределённым параметром
4.2.1 Постановка задачи и основные результаты
4.2.2 Доказательство основных результатов
Список литературы

Решение любой физической задачи начинается с построения математической модели предметной области. Числовые характеристики, определяющие модель, находятся посредством анализа результатов замеров или экспериментов. Сама процедура составления и проведения этих измерений опосредована теориями и приборами, которые описывают физическую реальность лишь с некоторой долей правдоподобия. Таким образом, имеется целое множество моментов, накладывающих отпечаток неточности в получаемой модели. Это только одна сторона.
Другая сторона заключается в том, что элемент неточности сознательно закладывается в модель, чаще всего с целью ее упрощения.
Многие задачи теории управления, механики и математической физики в своих математических моделях содержат разрывные нелинейности. Например, такие нелинейности могут возникать как идеализация непрерывных процессов, в которых наблюдаются короткие промежутки с резким изменением тех или иных параметров. Так как структуру такого изменения отследить довольно сложно, то в уравнениях просто считают, что некоторая функция имеет разрыв и решают задачу в таком предположении. Тем не менее при таком подходе остается открытым вопрос о том, насколько решение получившейся задачи адекватно отражает физическую действительность. Вопрос о близости множеств решений уравнения с допредельными нелинейностями и множества обобщенных решений с идеализированными разрывными характеристиками был поставлен в работе [9].

Глава 2. Теоремы существования
Имеем, в силу только что доказанного неравенства
[ ((К0)| + |адк(ж)|)г+1 - |гд(ж)|г+1)сгх <
< [ 4(|нд(ж)|г+1 + |ю*(х)| • ук{х)т)(1х.

Далее, используя неравенство Гёльдера, получаем
[ |гпк(х)|г+1^х < ( [ ъик(х)с1х ■ ( [ ЫаА Г . (2.22)
1п Хп / хп
г +
Так как —-— < 1, то эта оценка показывает, что данный интеграл
[ ь)к(х)г+1<1х есть величина бесконечно малая по сравнению с ||гщ||2 л
при ||гщ|| —> +оо.
Для оценки / ь)к(х)-У1с(х)гс1х воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:
[ |гщ(ж)| • ук{х)Чх < ЦгнкЦг • ( [ |г>к(ж)|2гсйА .
хп цп
Т.к. все нормы в АТ(Ь) эквивалентны, то мы можем подобрать такую положительную константу С", что
^ук(х)2Чх^ ' < С"||г>к||Г.
Таким образом получаем неравенство
[ К(ж)| • ьк(х)Чх < С'\гик\2 ■ |К||Г.
Здесь же давайте учтем, что Цгг^Цг < С"\юк\, и сделаем соответствующую замену в оценке.
Итак, окончательно величину
I Г гик(х)
^о(ик) =-(Сгик,и)к) + (1x1 дь(х,8)&8
* хо