Сильно эллиптические функционально-дифференциальные уравнения

• Автор: Скрябин, Максим Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Функциональные операторы в ограниченных областях

1.1. Группа преобразований К” и функциональные операторы

1.2. Алгебра С?{0)

1.3. Отношение эквивалентности и фактор-топология

1.4. Пространство максимальных идеалов

1.5. Разбиение единицы для функциональных операторов

2. Краевые задачи для сильно эллиптических функциональнодифференциальных операторов

2.1. Определение сильной эллиптичности

2.2. Разбиение единицы для функционально-дифференциальных операторов

2.3. Условия сильной эллиптичности в случае конечного множества Щх]
2.4. Условия сильной эллиптичности в случае неподвижной точки
2.5. Определение обобщенного решения

2.6. Разрешимость краевых задач. Спектр
3. Применение к нелокальным краевым задачам
3.1. Постановка задачи
3.2. Сведение нелокальной краевой задачи к функциональнодифференциальному уравнению
3.3. Нелокальные краевые задачи и формула Грина
3.4. Сведение формально сопряженной задачи к краевой задаче
3.5. Однозначная разрешимость некоторых нелокальных краевых задач в двугранных углах
Введение
1. В настоящей диссертации изучаются сильно эллиптические функционально-дифференциальные уравнения и их применение к исследованию нелокальных краевых задач.
Первый результат о сильной эллиптичности для систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами был получен М. И. Ви-шиком [5]. Для получения достаточных условий сильной эллиптичности дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами Л. Гординг [37] использовал разбиение единицы и «замораживание» коэффициентов. Другие результаты о сильной эллиптичности можно найти в [31,36].
Сильно эллиптические дифференциально-разностные операторы рассматривались А. Л. Скубачевским [45]. Для дифференциально-разностных уравнений А.Л. Скубачевский взял выполнение неравенства типа Гор-динга в качестве определения сильной эллиптичности. Нахождение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности в алгебраической форме для дифференциально-разностных уравнений оказалось непростой задачей. Им, в частности, было показано, что неотрицательность символа дифференциально-разностного оператора не влечет за собой сильную эл-

положительно определены, где
о) , раФарХа(Х()С!др. (2.11)
|аЦ/9|=т
Доказательство.
1. Пусть оператор А сильно эллиптический, и £ Сос(Ог(хо)). Тогда
Яеа(ц) с1\и\ут(ОТ{х0)) ~ С2|1м1112(С>г(хо))>
Введем функцию V = и и. Тогда
Геа(и) = Ые 2 (ФарТи, Т>аи)12(0т{хо)) + Ьх(и)
а==тп
~ Не X] (фс'0,хоиЪРи,иЭаи)ь1{ВгЫ)+Ь1(и)
М=|/3|=пг
Е ыуу)ЧВгЫ)+ии),
|р|=Ы=т

|Ь2(м)| к1\и\цг™(Ог{х0))\и\уУ™-'{ОГ{х0))-
Используя неравенство
аЪ д-та2 + дтЪ2 (а, 6 € К, д > 0), (2.12)
получаем
Е (»и(,ОТ)с
(Вг(жо))
Н=к|=т >ЧТ/П2
:2||||ик-+1(вг(хо)) ~ МНдв,.))-