Оптимальное управление гиперболическими полулинейными системами на стандартном симплексе

• Автор: Рябова, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 145 с.

0.1 Введение

1 Гиперболические полулинейные системы на стандартном симплексе

1.1 Системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка на стандартном симплексе; необходимые н достаточные условия принадлежности данному классу систем
1.2 Система, записанная в инвариантах: необходимые и достаточные условия принадлежности классу систем на стандартном симплексе
1.3 Уравнения химической кинетики: пример гиперболической системы полулинейных уравнений на стандартном симплексе
1.4 Формы представления гиперболических полулинейных систем на стандартном симплексе
1.5 Решение задачи Коши для гиперболической полулинейной системы на стандартном симплексе
1.6 Условия приведения системы дифференциальных уравнений к системе на стандартном симплексе

1.7 Проектирование симплекса

1.8 Решение задачи Коши в классе абсолютно непрерывных функций

2 Предельные свойства решения задачи Коши для гиперболических

полулинейных систем на стандартном симплексе
2.1 Стремление решения к вершине симплекса: необходимые и достаточные условия выполнения
2.2 Необходимые и достаточные условия стремления к вершине симплекса для частного случая гиперболической системы
2.3 Примеры исследования предельного поведения решения систем гиперболического типа на стандартном симплексе
2.4 Попадание решения в окрестность вершины симплекса: достаточные условия
3 Оптимальное управление гиперболическими полулинейными системами на стандартном симплексе

3.1 Постановка задачи оптимального управления для системы на стандартном симплексе
3.2 Необходимые условия оптимальности допустимого процесса в задаче
на ограниченном интервале времени
♦ 3.3 Решение одного класса оптимизационных задач
3.4 Теорема о постоянстве управления вдоль характеристик

3.5 Решение оптимизационных задач на ограниченных интервалах времени
3.6 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени
3.7 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени в случае линейных функций перехода
3.8 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени в случае нелинейных функций перехода
3.9 Исследование задачи оптимального управления па неограниченных интервалах времени для частного случая гиперболической системы на
ф стандартном симплексе
Литература

0.1 Введение
Для математического описания многочисленных явлений и процессов различной природы используются нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными, в том числе системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Такие системы широко применяются в теории переноса и излучения, при моделировании процессов в ядерных реакторах, газовой динамике, при описании процессов популяционной генетики и химической кинетики.
Большинство реальных физических процессов описывается нелинейными уравнениями, и только существенные дополнительные предположения приводят к линейным уравнениям, которые изучены более глубоко. При всем обилии различных методов исследования и решения нелинейных уравнений эта область математики до сих пор не изучена так же полно, как теория линейных уравнений. Это связано в первую очередь с тем, что к нелинейным дифференциальным уравнениям неприменим принцип суперпозиции решений, так что многообразие решений не является линейным. Поэтому для приложений большое значение имеет изучение отдельных классов уравнений, исследование которых существенно опирается на их специфику.
Основные вопросы, возникающие при изучении систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, связаны с проблемами существования, единственности, непрерывной зависимости от входных данных решения задачи Коши, построения алгоритмов численного и аналитического поиска этого решения, проблемой глобальной разрешимости задачи Коши.
Первые результаты по существованию и единствен пости решения задачи Коши для уравнений и систем уравнений в частных производных были получены методом Коши - Ковалевской в предположении аналитичности входных данных задачи Коши. Теорема Коши - Ковалевской применима для широчайших классов дифференциальных уравнений в частных производных, но ценность полученных результатов снижается достаточно обременительными для приложений требованиями на входные данные, так как задачу Коши для систем дифференциальных уравнений, описывающих процессы различной природы, часто требуется рассматривать при минимальных ограничениях на входные данные.
Среди гиперболических систем нелинейных уравнений с частными производными наиболее простыми являются системы квазилинейных уравнений. Теоремы общего характера о разрешимости квазилинейных гиперболических уравнений порядка выше первого и систем квазилинейных уравнений гиперболического типа начали изучаться в начале 20 века в работах Э. Леви [235,230]. Однако затем, как отметил Курант [111] "... работа Э. Леви о гиперболических уравнениях оставалась забытой, пока почти все его результаты не были заново открыты." Позднее, независимо
В случае, когда а — отличная от нуля константа, характеристиками уравнений (1.5.12) являются прямые линии, уравнение каждой из которых может быть представлено в виде х = аі + с, где постоянная с, своя для каждой характеристики, определяется из начальных условий (1.5.13).
Если Ьі, і — 1, гг, — постоянные величины, то решением задачи (1-3.7), (1.3.6) в смысле определения 1.2.1 являются функции
г,(ХіІ) = _Ш£1МІ£ЇЕМ_,
^Сі(хОМ;0))ехр(б,г)

Пример 1.5.2. Более нетривиальный пример представляет система
§1 + аЪх = Ьіг'2 ~гі52 ЬА' 1 = ^ (1.5.14)
1='
Пусть Ьі - положительные константы, і = 1, п. Система (1.5.14) удовлетворяет условиям теоремы 1.5.3, но требования теоремы 1.5.1 для нее не выполнены (функции перехода не являются положительно однородными первого порядка). Согласно следствию 1.5.2 этой системе на стандартном симплексе можно поставить в соответствие систему (1.5.5), с положительно однородными функциями РДхДД), определяемыми согласно (1.5.7):
^г(М,£) = 4г1-, г=Т~п.
Е £?

Решение вспомогательной системы с начальными условиями (1.5.2) в смысле определения 1.2.1 удовлетворяет системе
<4 _ ь$
<іі
г = 1,п,
Е£;

которую можно проинтегрировть, что сделано в [80]:
= ЬМх'ь) 1 = п(~Л{х’А У7",се«.
’ б1(1 + б1^1(х,())’ ’ ’ Ш1 + Ьс£1(х,г))
Здесь С = 0; с, Сг, г = 2,п, определяются из начальных условий (1.5.2). По формулам (1.5.6) находится решение исходной задачи:
г (х ь)=('У М1±^МеЕ11) ,■ _ ГИ
Систему (1.5.14) можно интерпретировать как обобщение системы уравнений Лотки - Вольтерра с учётом явления переноса. Динамика видов, определяемая такой