Симметрии функционально-дифференциальных уравнений

• Автор: Линчук, Лидия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 111 с.

Введение
В диссертационной работе рассматривается класс обыкновенных функционально-дифференциальных уравнений вида
Р (я, У(я), у{ч>(х)), /{х),у'{ч>{я)), ,У(п)(х)>У(п)Ых))) =°- (0Д)
В обширной литературе, посвященной данному вопросу, различные подклассы уравнений такого типа называют также дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, дифференциальноразностными уравнениями, уравнениями с запаздыванием.
Функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) встречаются уже в работах математиков XVIII века, например, в связи с решением задачи Л.Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако до 1940 года число работ, посвященных этим уравнениям, было сравнительно невелико. Укажем, что до 40-х гг. еще не были сформулированы основные теоремы теории ФДУ, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи [44]. В 50-60 гг. в связи с появлением многочисленных приложений интерес к теории ФДУ резко возрос.
Как известно [20,41,65], ФДУ возникают в теории автоматического регулирования, в теории колебаний, при изучении процессов в реактивных двигателях, при решении ряда проблем теоретической физики, некоторых задач экономики, а также в различных отраслях биологии [23,62].
Среди основных направлений исследований ФДУ следует отметить:
1) теоремы существования и приближенные методы;
2) теория линейных уравнений;
3) теория устойчивости;
4) исследование периодических решений,
а также вариационные задачи с отклоняющимся аргументом и связанные с ними краевые задачи.
Нетрудно видеть, что проблема поиска точных решений в замкнутом аналитическом виде не входит в число основных направлений
- не в силу отсутствия ее актуальности, а по причине недостаточной общности подходов, что легко объясняется чрезвычайной сложностью задаваемых ФДУ многообразий.
Наиболее полный обзор методов построения точных решений ФДУ представлен в монографиях Э.Пинни [61], Л.Э.Эльсгольца [64], а также в литературе других авторов [19,21,35,43,63,66].
1. Метод интегральных преобразований (операционный метод, операторный метод). Э.Пинни считает его одним из наиболее сильных методов для решения ФДУ. Как правило, он применяется для линейных уравнений, в которых коэффициенты и отклонения аргумента являются линейными функциями независимой переменной.
Используя интегральные преобразования:

Р^) = У е~г1/(ж) сЬ (Лапласа),

*■(*) = / е гх}{х) с1а(х) (Лапласа — Стильтьеса),

Д(г) = £ е~г2Х}(х) (1х (Фурье),

У(д) = Je~zxf(x)dx (Эйлера — Лапласа), а
ФДУ в некоторых случаях можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению (без отклонения аргумента), к функциональным уравнениям и даже к алгебраическим, так как дифференцирование и сдвиг аргумента для функций /(ж) переходят в простое умножение для образа Р{Р).
Модификацией метода интегральных преобразований является метод производящих функций: приведенные ранее интегралы заменяются интегральными суммами. Эти суммы вычисляются и далее свертываются для получения решений. Чаще всего этот метод применяется, когда интерес представляют лишь целочисленные значения
переменной сдвига.
2. Метод интегрального представления или «метод определенных интегралов» по сути дела является эвристическим методом. Он основан на предположении, что решение г/»(т) системы функционально-дифференциальных уравнений может быть представлено в виде
где Ц - функции, имеющие ограниченную вариацию на измеримых множествах Х{ в пространстве х. Функциям и Ц придана удобная форма. Задача состоит в определении функции У (г). Наиболее удобными являются представление Лапласа-Стильтьеса (функции С?; состоят из экспонент), а также представление в виде степенного ряда.
3. Метод последовательного интегрирования (метод шагов). Рассмотрим основную начальную задачу для простейшего уравнения с запаздывающим аргументом
где постоянное запаздывание т > О,
у(х) = <До(ж) при то — т < х < то-
Непрерывное решение у(х) рассматриваемой задачи находится из дифференциальных уравнений без запаздывания
у1 = f(x,y(x),

о(я-т)) при т0<т<т0 + -г, у(хо) = <Ро(хо},
так как при то ^ т ^ то + т аргумент т — т изменяется на начальном множестве [то —т, то] и, следовательно, третий аргумент у(х — т) функции / равен начальной функции <До(т — т). Предполагая существование решения у = <£i(t) этой начальной задачи на всем отрезке [т0, То + т], аналогично получим дифференциальное уравнение без запаздывания
г/(т) = /(ж,у(т),г/(т-т)),
У1 = f(x,y(x), на отрезке [æq + т, xq + 2т], и т.д.

являются базисом пространства инвариантов Зп|[а(„)_р]- В случае если Щ ^)|[sw=f] є 5n-i|i
может существовать инвариант г2 = 5 40) е 5„|ь(„)=л3„-1|[в(„,^], тогда базисом пространства 5„|[!((„)=?] являются инварианты

ИЛИ (если Z2°^ не существует)

x,z[
(и—*!—1) (0)
'Z1 > Z
(n-h-i)

Теперь рассмотрим случай, когда к** существует. Заметим, что к** ф 0, так как функционально независимых инвариантов нулевого порядка не более двух. Обозначим
к2 = min ji | dim5i|f3/(»)=jrj >г-к i +
Очевидно, что max{fci, 1} ^ к2 < п. Из существования к2 следует, что найдется инвариант г® 6 порядка к2, т.е. имеет место одно из соотношений: либо dz^/dy^ ф 0, либо dzf*/dw^ ф 0, причем инварианты x,zf ... , zf2~kl z® будут функционально независимы. Тогда по теореме 3 и следствию из леммы 1 будет выполняться необходимое условие
det АфО, (1.31)

( dzf dz<0)
3y(ki) сНе'З'і)
dzf* dz'.

у dl/*'21 dw('kA у
Аналогичным образом можно построить последовательность ин-
вариантов «
_(•) _ пі (,№)
(и—*2—1)
соответственно порядка к2,
, гг—1, где
z2 = D'x(z2 ) (0 ^ і ^ п — к2). Рассмотрим совокупность инвариантов
Ы = {ж, г)

(г—*х) (0)
, г2 , ... , ^
и покажем, что является базисом пространства ЗіІ^м-ру Будем рассуждать по индукции. Совокупность инвариантов з*2 является базисом пространства 3*2 по выбору г® и теореме 5. Из условия