О гладкости решений линейных и квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка

• Автор: Курбанов, Аладдин Алияр оглы
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 74 c. : ил

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1.1 О. модуле непрерывности гармонических

функций в регулярных граничных точках

§ 1.2 0 гладкости решений эллиптических уравнений 2-го порядка в замкнутых областях

§ 1.3 0 гладкости решений дивергентных уравнений с разрывными коэффициентами

§ 1.4 . О поведении решений эллиптических уравнений, с произвольно.ограниченными коэффициентами

Глава II. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 2.1 Гладкость решении квазилинейных уравнений в регулярных граничных точках

§ 2.2 Об устранимой особенности решений квазилинейных эллиптических уравнений.2-го порядка
ЛИТЕРАТУРА

Рассмотрим в ограниченной области 2) , лежащей в ГО -мерном ( УЬ > 2) евклидовом пространстве $ точек Х-(ХЛ-М, эллиптическое уравнение
Ш-— ^ йцсШх^хк ^ ^(х)* С(х)Ц
1,К=1 1=)
(I)
в предложении, что матрица ЦОікМЦ равномерно положительно
определена, т.е.
2 г г „1-і2 (2)
ос/(/ 4 2 аы(Х)^
І.К
где о[ и уЗ положительные постоянные.
Хорошо известно, что если 1л - оператор Лапласа, а точка границы дХ) области X) регулярна по Винеру, то обобщенное решение задачи Дирихле в смысле Винера
щ-о в
(3)
непрерывно в X , если ^ - непрерывная граничная функция ([1].[2]).
Как показано в [3] этот же результат справедлив и для решении дивергентных уравнений вида
" д
дХ[ [ аік (х) Ух*]
(4)

если только матрица Ц0ск(Х) | удовлетворяет условию (2).
Что же касается вопроса о гладкости решений уравнения (4) в регулярных граничных точках, то в [4] впервые получена оценка модуля непрерывности решения вблизи границы и, в частности, приведено достаточное условие гельдеровости решения.
Впоследствии аналогичная оценка была получена и для решений уравнений вида (I) с разрывными коэффициентами в терминах так называемой $ - емкости [5]
При этом относительно младших коэффициентов уравнения предполагалось, что
/6г(Х)|й6в, -6„<С
(5)
где и° - положительная константа.
Для уравнений вида (I) с непрерывными по Дини коэффициентами О-ск (X) обсуждаемый факт был получен в терминах винеров-ской емкости в работе [б] . При этом во всех случаях скорость стремления к своему значению в регулярной граничной точке решения задачи (3) определялась скоростью расходимости ряда Винера (или ряда типа Винера) и модулем непрерывности граничной функции ^ . Из полученных результатов невозможно было получить большую, чем гельдеровскую;гладкость с показателем гель-дера 0 < сХ < 1.
Однако, известно, что если граничная точка устроена так, что в ее окрестности дополнение области имеет большой объем (по сравнению с шаром), то решение эллиптического уравнения в этой точке к своему граничному значению может стремиться как угодно быстро. Возможность такого случая отмечена в рабо-

Очевидно, что
L'w^O в ъ,
и// =Ми И /-
/ Сщг /С®
Далее,
w/ М. >- (Sep U+ ЧЛоИг)
II z /оц
->о lx-x°l2z SupU-XM
2-8 R хея
Zl2RSupU-X0R2> XZR2- y,oR2>0,
X€Z)

Л — .
2 2-бЛ“2Л,
Лемма доказана.
ТЕОРЕМА 2.I.I. Пусть в нормальной ограниченной области дано уравнение (2.I.I) ив ней выполнены условия (2.1.2), (2.1.3) (2.1.4) и (2.1.5). Пусть U(X) является решением уравнения (2.I.I) и U(X)£ E>lo , Пусть, как и прежде, Сч% = dQ* П D
и для любого R (0< R Л, Rn'U Са^(Сч*)Ш2ПЛ'2,